Actividad 3: Naturaleza de las raíces de una ecuación característica
Actividad 3: Naturaleza de las raíces de una ecuación característica
Resolver las ecuaciones diferenciales que se indican a continuación y anotar todos los pasos requeridos para establecer dicha solución
$$\begin{align}&a) 8y’’+16y’=0\\ &〖b) y〗^''-y^'-12\\ &〖c) y〗^''-12y^'+36y=0\\ &d) 6y^''-13y^'+6y=0\\ &〖e) y〗^'''-3y^''-6y^'+8y=0\\ &\end{align}$$$$\begin{align}&a) 8y’’+16y’=0\\ &b) y''-y'-12\\ &c) y''-12y'+36y=0\\ &d) 6y''-13y'+6y=0\\ &e) y´''-3y''-6y'+8y=0\end{align}$$
1 Respuesta
Antonio Martinez!
Hay que hallar las raíces de la ecuación característica y según sean dos reales distintas, una real doble o dos complejas conjugadas se aplica la teoría correspondiente
a) Dividimos por 8 antes de nada
k^2 +2k = 0
k(k+2) =0
raices
k=0
k=-2
Son dos reales distintas la solución general es
y = C1·e^(0x) + C2·e^(-2x) = C1 + C2·e^(-2x)
b) k^2 - k -12 = 0
por unos leves conocimientos de factorización esto es
(k-4)(k+3)
Luego las raíces son 4 y -3 y la solución general
y = C1·e^(4x) + C2·e^(-3x)
c) k^2 - 12k + 36 = 0
Esto es un cuadrado perfecto
(x-6)(x-6)
Hay una raíz doble que es k=6, entonces la solución general es:
y = C1·e^(6x) + C2·x·e^(6x)
d)
k^2 - 13k + 6 = 0
Esta ya no es tan sencilla
$$\begin{align}&k=\frac{13\pm \sqrt{169-144}}{2}=\frac{13\pm5}{2}=4 \;y\; 9\\ &\\ &\text{y la solución general es}\\ &\\ &y=C_1e^{4x}+C_2e^{9x}\end{align}$$e) k^3 - 3k^2 - 6k + 8 = 0
Menos mal que se ve que k=1 es una solución
1 -3 -6 8 1 1 -2 -8 ---------------- 1 -2 -8 | 0
Ahora es una ecuación de segundo grado que se factoriza fácilmente
(k-4)(k+2)
Luego las raíces son 1, 4 y -2
y = C1·e^x + C2·e^(4x) + C3·e^(-2x)
