¿Qué quiere decir que un microprocesador corra a 8 bits, 16 bits, etc.?

En esto me podría extender varias páginas. Pero en resumen: el nº de bits del procesador (o del SO) corresponden al nº de bits de la PALABRA.
Si la palabra es de 8 bits quiere decir que las instrucciones que puede ejecutar el procesador ocupan 8 bits y los registros también. Los registros es donde el procesador almacena los datos y los resultados de las operaciones que está efectuando.
La longitud de la palabra influye también en la máxima cantidad de memoria que puede direccionar (numerar) el procesador.
En resumen y para hacer una analogía, que la diferencia entre un procesador de 8 bits y uno de 16 bits es la misma diferencia que entre una carretera de un carril y una de dos carriles.
Dentro del mundo PC ya no existen a la venta los procesadores de 8 y 16. Los hay de 32 (todos los pentium hasta los 4 inclusive) y de 64 (los nuevos AMD).
Un sistema operativo de 32 bits (como Windows XP, por ejemplo) se puede ejecutar en un ordenador con procesador de 32 bits o más, pero no de menos.