Problemas en el cese voluntario y paro

Buenas tardes, y de antemano, gracias por la atención.
Recientemente me han dado la responsabilidad de jefe de administración, aunque llevo más de 6 años trabajando en esta empresa. Pero al poco tiempo en mi puesto, he descubierto cosas que se han estado realizando, de cuya legalidad dudo mucho. Estoy presionado por la dirección de mi empresa a realizar estas cosas, y me estoy negando, pero es tal la presión, que me veo obligado a despedirme. Pero por mi marcha, es seguro que la empresa pueda verse seriamente afectada por el puesto que ocupo. No están dispuestos a darme el despido, y es tal la presión y la gravedad, que no quiero ni esperar el tiempo de pre-aviso para marcharme, por preocupación de que durante este tiempo sigan realizando esas prácticas sin mi intervención, aunque no tengo firma alguna ni poder.
¿Podría plantearme algún problema no respetar dicho tiempo, aparte de la reducción del finiquito? Si posteriormente soy contratado por otra empresa y despedido, ¿hay algún problema en el cobro del paro?