1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Como en nuchos ejercicios de integración por cambio de variable, se debe buscar un cambio que vaya bien y cuya derivada sea un factor que aparezca en la integral. Aquí vemos que u^4+2 parece que debe ser el cambio y su derivada es 4u3, y el u^3 es un factor en la integral, luego es un cambio con muchas posibilidades
$$\begin{align}&\int u^3 \sqrt{u^4+2}\;du =\\ &\\ &t = u^4+2 \quad dt = 4u^3du \implies u^3du = \frac{dt}{4}\\ &\\ &\int \sqrt t·\frac{dt}{4}=\frac 14\int t^{\frac 12}dt =\frac 14 ·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}+C=\\ &\\ &\\ &\frac 14·\frac 23 ·t^{\frac 32}+C=\frac {t^{\frac 32}}{6}+C\end{align}$$Y eso es todo.
Espera, que se me olvidó deshacer el cambio
$$= \frac {\sqrt{(u^4+2)^3}}{6}+C$$
