Derivar la función x

En este caso ya tenemos el numerador de grado menor que el denominador. Y la descomposición del denominador es

x^2(x+2)

La raíz x=0 es doble eso hace que se tenga que descomponer en una fracción con x de denominador y otra con x^2

$$\begin{align}&\frac{5x^2+3x-2}{x^3+2x^2}=\frac ax+\frac b{x^2} + \frac{c}{x+2}=\\ &\\ &\frac{ax(x+2)+b(x+2)+cx^2}{x^2(x+3)}\\ &\\ &\text {el numerador inicial y el final deben ser iguales}\\ &\\ &5x^2+3x-2=ax(x+2)+b(x+2)+cx^2\\ &\\ &\text{Si tomamos x=0}\\ &-2 =2b\implies b=-1\\ &\\ &\text {si tomamos x=-2}\\ &\\ &20-6-2=4c\implies c=3\\ &\\ &\text{Si tomamos x=1}\\ &5+3-2=3a-3+3\\ &6=3a\\ &a =2\\ &\\ &\int \frac {5x^2+3x-2}{x^3+2x^2}dx =\\ &\\ &\int \frac {2}{x}dx -\int \frac{dx}{x^2}+\int \frac{3}{x+2}dx=\\ &\\ &2ln|x|+ \frac 1x +3ln|x+2|+C\end{align}$$

Y eso es todo.