Pregunta de vectores
Dados estos vectores:
(1,1,-1,1), (1,2,1,1), (2,3,0,2), (0,1,2,0)
A) Explicar si forman una base del espacio vectorial R3 y por qué.
B) ¿Depende linealmente el vector (1,-1,1,1)? En caso negativo escribir un vector que sí dependa linealmente de ellos.
1 Respuesta
A) Comprobaremos si son linealmente independientes mediante el procedimiento de sumar unos a otros multiplicados por constantes.
1 1 -1 1 1 2 1 1 2 3 0 2 0 1 2 0 1 1 -1 1 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0
Las filas 2, 3 y 4 son iguales, solo hay dos vectores linealmente independientes. Para ser una base deberían haber sido independientes los 4, Luego no son una base.
B) Si depende haberá una combinación lineal
a(1, 1, -1, 1) + b(0, 1, 2, 0) = (1, -1, 1, 1)
a=1
a+b = -1
sustituyendo a
1+b = -1
b = -2
y vemos si se cumplen las coordenadas tercera y cuarta
-a + 2b = 1
-1 - 4 = 1 No se cumple
Luego el vector (1,-1,1,1) no depende de los vectores que nos han dado.
Tomemos una combinación lineal cualquiera de ellos para obtener ese vector que depende de ellos
2(1, 1, -1, 1) + 3(0, 1, 2, 0) = (2, 5, 4, 2)
Y eso es todo.
