Transformada de la Plas

Llamemos por su nombre a este buen señor, Laplace.

La teoría para la resolución de ecuaciones con la transformada de Laplace se compone de muchos teoremas y técnicas de descomposición de funciones racionales, no puedo explicarlos aquí, lo tendrás todo en el libro que sigas.

Lo primero es hallar la transformada de los miembros de la ecuación, llamaré y con barra a la transformada de y.

$$s^2\overline{y}-5s$$

ESPERA, has puesto y(0)=5, y(0)=-4. Eso no puede ser, uno de los dos tiene que ser y'(0), ya me dirás cuál es.

si valeroasm que pena,

y(0)= 5, y'(0)= -4

[math]\begin{align}&s^2\overline{y}-5s +4 -7(s\overline{y}-5)+10\overline{y}=\frac{9s}{s^2+1}+\frac{7}{s^2+1}\\ &\\ &\overline{y}(s^2-7s+10)-5s+35 = \frac{9s+7}{s^2+1}\\ &\\ &\overline{y}= \frac{\frac{9s+7}{s^2+1}+5s-35}{s^2-7s+10}=\\ &\\ &\frac{9s+7+(5s-35)(s^2+1)}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}=\\ &\\ &\frac{5s^3-35s^2+14s-28}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}

Tengo serios problemas con internet, creo que no te llegó legible la respuesta.

$$\begin{align}&\overline{y}(s^2-7s+10)-5s+35 = \frac{9s+7}{s^2+1}\\ &\overline{y}= \frac{\frac{9s+7}{s^2+1}+5s-35}{s^2-7s+10}=\\ &\frac{9s+7+(5s-35)(s^2+1)}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}=\\ &\frac{5s^3-35s^2+14s-28}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}=\\ &\text{no cuesta nada factorizar más el denominador}\\ &\frac{5s^3-35s^2+14s-28}{(s^2+1)(s-5)(s-2)}=\\ &\frac{a+bs}{s^2+1}+\frac{c}{s-5}+\frac{d}{s-2}=\\ &(b+c+d)s^3+(a-7b-2c-5d)s^2+(-7a+10b+c+d)s +10a-2c-5d\\ &\text {se forman estas ecuaciones}\\ &b+c+d=5\\ &a-7b-2c-5d=-35\\ &-7a+10bs^2\overline{y}-5s +4 -7(s\overline{y}-5)+10\overline{y}=\frac{9s}{s^2+1}+\frac{7}{s^2+1}\\ &\overline{y}(s^2-7s+10)-5s+35 = \frac{9s+7}{s^2+1}\\ &\overline{y}= \frac{\frac{9s+7}{s^2+1}+5s-35}{s^2-7s+10}=\\ &\frac{9s+7+(5s-35)(s^2+1)}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}=\\ &\frac{5s^3-35s^2+14s-28}{(s^2+1)(s^2-7s+10)}=\\ &\text{no cuesta nada factorizar más el denominador}\\ &\frac{5s^3-35s^2+14s-28}{(s^2+1)(s-5)(s-2)}=\\ &\frac{a+bs}{s^2+1}+\frac{c}{s-5}+\frac{d}{s-2}=\\ &(b+c+d)s^3+(a-7b-2c-5d)s^2+(-7a+10b+c+d)s +10a-2c-5d\\ &\text {se forman estas ecuaciones}\\ &b+c+d=5\\ &a-7b-2c-5d=-35\\ &-7a+10b+c+d=14\\ &10a-2c-5d=-28\\ &\text{Soluciones por ordenador}\\ &a=0\\ &b=1\\ &c=-\frac 83\\ &d=\frac {20}{3}\\ &\text{Y la inversa de la transformada es:}\\ &y=cost -\frac 83e^{5t}+\frac{20}{3}e^{2t}\end{align}$$

Y eso es todo. He simplificado pasos porque con este editor no se puede hacer mucho más. Si no has entendido algo me lo dices. Un problema como este es díficilde explicar si no tienes una buena base, y por escrito menos.