Hallar el conjunto tal que f(x) es

La función es creciente en los puntos donde la derivada es positiva. Luego calculamos la derivada.

f(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2

f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x

La derivada es un polinomio, que es una función siempre continua y mantiene mientras no valga 0. Calcularemos los ceros de f '(x)

4x^3 - 12x^2 + 6x = 0

x(4x^2 - 12x + 6) = 0

La primera raíz es x1=0

las otras vienen de

4x^2 - 12x + 6 = 0

2x^2 - 6x + 3 = 0

x = [6 +- sqrt(36-24)]/4= [6 +- sqrt(12)] / 4 = [6 +- 2sqrt(3)] / 4

x2 = [3 - sqrt(3)] / 2 = 0.63397...

x3 = [3 + sqrt(3)] / 2 = 2.3660...

Luego se forman estos cuatro tramos

(-oo, 0)

(0, [3-sqrt(3)]/2)

([3-sqrt(3)]/2, [3+sqrt(3)]/2)

([3+sqrt(3)]/2, +oo)

Hay que calcular el signo de f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x en cada uno

Se puede tomar un punto de cada uno y comprobarlo. O se pueden hacer consideraciones sobre límites de la función en +-oo y el número de raíces distintas. Según esto segundo los signos van a ser - + - +.

Pero lo haremos de comprobando con puntos que es lo que seguro habrás dado. Para ello conviene calcular estos valores

En (-oo, 0) tomamos x=-1, entonces f '(-1) = - 4 -12- 6 = -22 negativa, luego f decrece

En (0, [3-sqrt(3)]/2) tomamos x=0.5=1/2 entonces

f '(1/2) = 4(1/8)-12(1/4)+6(1/2) = 1/2 - 3 + 3 = 1/2 es positiva, luego f es creciente

En ([3-sqrt(3)]/2, [3+sqrt(3)]/2) tomamos x=1 entonces f '(1) = 4-12+6=-2 negativa y f decrece

En ([3+sqrt(3)]/2, +oo) tomamos x=3 entonces f '(3) = 4·27-12·9+18 = 18 positiva luego f crece

Luego el conjunto donde la función es creciente es:

C = (0, [3-sqrt(3)]/2) U ([3+sqrt(3)]/2, +oo)

Y eso es todo.