Máximos y mínimos y gráfica de una función 3

f(x) = x^5 - 5x^3
f '(x) = 5x^4 - 15x^2 = 0
Tenemos la respuesta inmediata x=0
Simplificando
5x^2-15=0
x^2 = 3
x = -sqrt(3) y sqrt(3)
Los puntos críticos son -sqrt(3), 0, sqrt(3)
La derivada segunda es
f ''(x) = 20x^3 - 30x

Calculamos el valor de la derivada segunda en cada punto crítico:

f ''[-sqrt(3)] = -20[sqrt(3)]^3 + 30sqrt(3) = -60sqrt(3)+30sqrt(3) = -30sqrt(3)

es negativo, luego x=-sqrt(3) es un máximo

Y el valor de la función es

f[(-sqrt(3)] = -[sqrt(3)]^5 + 5[sqrt(3)]^3 = -9sqrt(3) + 15sqrt(3) = 6sqrt(3)

Luego (-sqrt(3), 6sqrt(3)) es un máximo relativo

f ''(0) = 20·0^3 - 30·0 = 0

No se sabe si es máximo, mínimo o punto de inflexión

Calculamos la derivada tercera

f '''(x) = 60x^2 - 30

f '''(0) = - 30

es distinta de cero luego es un punto de inflexión

f(0) = 0

Luego el punto (0,0) es un punto de inflexión.

f ''[sqrt(3)] = 20[sqrt(3)]^3 -30sqrt(3) = 60sqrt(3) -30sqrt(3) = 30sqrt(3)

es positivo luego x=sqrt(3) es un mínimo

Y el valor de la función es

f[sqrt(3)] = [sqrt(3)]^5 - 5[sqrt(3)]^3= 9sqrt(3)-15sqrt(3) = -6sqrt(3)

Luego (sqrt(3), -6sqrt(3)) es un mínimo relativo.

La concavidad depende del signo de la derivada segunda

f ''(x) = 20x^3 - 30x

calculamos las raíces

20x^3 - 30x = 0

Una solución es x=0

para las distintas de cero se puede dividir entre x

20x^2 - 30 = 0

20x^2 = 30

x^2 = 3/2

x= +- sqrt(3/2)

estos valores están dentro de los intervalo [-2 , -1] y [1,2] eso es lo que nos interesa, no necesitamos calcular el valor exacto

Estas raíces dividen la recta real en tres intervalos y dentro de cada uno el valor de la derivada segunda tiene el mismo signo, luego calculando el signo de cualquier punto de ellos se sabe el signo de todo el intervalo correspondiente.

(-oo, -sqrt(3/2)) tomamos x=-2; f ''(-2)= -160+60 = -100 es cóncava hacia abajo

(-sqrt(3/2) , 0) tomamos x=-1; f ''(-1) = -20+30 = 10 es cóncava hacia arriba

(0, sqrt(3/2)) tomamos x=1; f ''(1) = 20-30 = -10 es cóncava hacia abajo

(sqrt(3/2), +oo) tomamos x=2; f ''(2) = 160 - 60 = 100 es cóncava hacia arriba

Y esta es la gráfica, tiene bastante pendiente, para poder ver los puntos de cambio de concavidad los he puesto en azul. Son los puntos:

(-sqrt(3/2) , f[-sqrt(3/2)])

(0,0)

(sqrt(3/2) , f[sqrt(3/2)])

Y eso es todo.