Distancia al vértice?
Una lámpara de mano tiene un espejo parabólico de 8 cm de ancho en la parte más externa y 4 cm
de profundidad. ¿A que distancia desde el vértice se coloca el elemento luminoso con la finalidad
de que los rayos de la lámpara se extiendan aproximadamente de forma paralela? Para que esto
suceda el filamento debe colocarse en el foco.
Gracias.
Efectivamente, si se pone la bombilla en el foco los rayos se reflejan en el espejo y salen de forma paralela.
Pongamos el espejo mirando hacia la derecha, como la letra C.
La ecuación canónica de una parábola de esa forma es
(y-k)^2 = 2p(x-h)
Donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola y p es la distancia entre el foco y la directriz.
Para facilitar las cuentas pondremos el vértice en el punto (0,0) y asi la ecuación sera
y^2 = 2px
Para calcular este p basta con que conozcamos un punto de la parábola. Los 4 cm de profundidad van hacia la derecha, luego el borde del espejo tiene coordenada x=4.
Y los 8 cm de ancho se transforman en altura, la mitad van para arriba del eje X y la mitad para abajo. Tenemos que los dos puntos del borde del espejo cortado con el plano XY son
(4,4) y (4,-4), tomamos el primero y hagamos que la parábola pase por él
4^2 = 2p·4
16 = 8p
p=2
Ya tenemos p cuyo nombre es distancia focal y es la distancia ente el foco y la directriz.
Foco y directriz están a igual distancia del vértice luego tendremos que la directriz estará a p/2 por la izquierda y el foco a p/2 por la derecha.
Luego la distancia del elemento luminoso al vértice sera p/2 = 2/2 = 1
Y eso es todo.
