Problema con vectores

Dados los vectores (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1+a, 1) y (1, 1, 1, 1 + a). Determine según los valores del parámetro a la dimensión y una base del subespacio vectorial que generan

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La forma de calcular la dimensión del espacio engendrado por unos vectores es ponerlos en forma de matriz y hacer las operaciones encaminadas a crear ceros propias de las ecuaciones. El número de filas no nulas que queden será la dimensión del subespacio que generan.

Lo que voy a hacer es restar unas filas a otras, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera

1+a   1    1    1
 1   1+a   1    1
 1    1   1+a   1
 1    1    1   1+a
1+a   1    1    1
-a    a    0    0
 0   -a    a    0
0 0 -a a

Es difícil operar, mejor vamos a calcular el determinante desarrollando la primera columna

      | a  0  0|      | 1  1  1|
(1+a) |-a  a  0| -(-a)|-a  a  0|  =
      | 0 -a  a|      | 0 -a  a|
(1+a)a^3 + a(a^2+a^2+a^2) =
a^4 + a^3 + 3a^3 =
a^4 +4a^3 =
a^3(a+4)

Luego es determinante es cero cuando

a=0

a=-4

en los demás casos los cuatro vectores serán independientes

Si a=0 está bien claro, los cuatro vectores son (1,1,1,1) y sobran 3 y la dimensión es 1

Si a = -4 es más raro

-3  1  1  1    -3  1  1  1
 1 -3  1  1     4 -4  0  0
 1  1 -3  1  ~  0  4 -4  0  ~
 1  1  1 -3     0  0  4 -4
-3  1  1  1     0 -2  1  1
 1 -1  0  0     1 -1  0  0
 0  1 -1  0  ~  0  1 -1  0
 0  0  1 -1     0  0  1 -1
 0  0 -1  1     0  0  0  0
 1 -1  0  0     1 -1  0  0
 0  1 -1  0  ~  0  1 -1  0
 0  0  1 -1     0  0  1 -1

Lo primero que se hizo es lo mismo que antes, luego se dividieron por 4 las filas 2,3 y 4.

Luego la segunda por 3 se suma a la primera, luego la tercera por 2 se suma a la primera y finalmente la cuarta se suma a la primera. Y en las tres filas que quedan no se puede quitar ninguna.

Resumiendo

Si a = 0 la dimensión es 1 y la base es (1,1,1,1)

Si a = 4 la dimensión es 3 y la base es (1,-1,0,0), (0,1,-1,0)(0,0,1,-1)

Si a distinto de 0 y 4 la dimensión es 4 y la base es cualquiera de las bases de R4, la canónica sin ir más lejos.

Y eso es todo.

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