La forma de calcular la dimensión del espacio engendrado por unos vectores es ponerlos en forma de matriz y hacer las operaciones encaminadas a crear ceros propias de las ecuaciones. El número de filas no nulas que queden será la dimensión del subespacio que generan.
Lo que voy a hacer es restar unas filas a otras, a la cuarta la tercera, a la tercera la segunda y a la segunda la primera
1+a 1 1 1
1 1+a 1 1
1 1 1+a 1
1 1 1 1+a
1+a 1 1 1
-a a 0 0
0 -a a 0
0 0 -a a
Es difícil operar, mejor vamos a calcular el determinante desarrollando la primera columna
| a 0 0| | 1 1 1|
(1+a) |-a a 0| -(-a)|-a a 0| =
| 0 -a a| | 0 -a a|
(1+a)a^3 + a(a^2+a^2+a^2) =
a^4 + a^3 + 3a^3 =
a^4 +4a^3 =
a^3(a+4)
Luego es determinante es cero cuando
a=0
a=-4
en los demás casos los cuatro vectores serán independientes
Si a=0 está bien claro, los cuatro vectores son (1,1,1,1) y sobran 3 y la dimensión es 1
Si a = -4 es más raro
-3 1 1 1 -3 1 1 1
1 -3 1 1 4 -4 0 0
1 1 -3 1 ~ 0 4 -4 0 ~
1 1 1 -3 0 0 4 -4
-3 1 1 1 0 -2 1 1
1 -1 0 0 1 -1 0 0
0 1 -1 0 ~ 0 1 -1 0
0 0 1 -1 0 0 1 -1
0 0 -1 1 0 0 0 0
1 -1 0 0 1 -1 0 0
0 1 -1 0 ~ 0 1 -1 0
0 0 1 -1 0 0 1 -1
Lo primero que se hizo es lo mismo que antes, luego se dividieron por 4 las filas 2,3 y 4.
Luego la segunda por 3 se suma a la primera, luego la tercera por 2 se suma a la primera y finalmente la cuarta se suma a la primera. Y en las tres filas que quedan no se puede quitar ninguna.
Resumiendo
Si a = 0 la dimensión es 1 y la base es (1,1,1,1)
Si a = 4 la dimensión es 3 y la base es (1,-1,0,0), (0,1,-1,0)(0,0,1,-1)
Si a distinto de 0 y 4 la dimensión es 4 y la base es cualquiera de las bases de R4, la canónica sin ir más lejos.
Y eso es todo.