Problemas de análisis y predicción
1. Demuestra
que la siguiente cadena de Markov tiene una infinidad de distribuciones
invariantes e identifica la hipótesis del Teorema fundamental de convergencia
que no satisface.
Tenemos la matriz:
1/2 0 1/2 0
P = 0 2/3 0 1/3
1/3 0 2/3 0
0 1/2 0 1/2
1 Respuesta
Amo 1965!
Una distribución invariante V será la que cumpla:
$$\begin{align}&V^TP=V^T\\ &P^TV=V\\ &P^TV-V=0\\ &(P^T-I)V=0\\ &\end{align}$$Eso será este sistema lineal expresado matricialmente
-1/2 0 1/3 0 | 0
0 -1/3 0 1/2 | 0
1/2 0 -1/3 0 | 0
0 1/3 0 -1/2 | 0
Como podemos ver las ecuaciones 1 y 3 son proporcionales, lo mismo que las 2 y 4, lo cual hace que solo hayas dos ecuaciones aprovechables a la cual añadiremos la ecuación
1 1 1 1 | 1
Ya que la suma de probabilidades de todos los estados debe ser 1
Pero en total tenemos 3 ecuaciones y las incógnitas son 4, es por ello que tenemos un sistema compatible indeterminado con infinidad de soluciones dependientes de un parámetro.
Y eso es todo.
