Hola, necesito tu ayuda, es una pregunta de test de hipótesis, muchas gracias

El gerente de producción de una empresa cuyo proceso consiste en llenar
cajas de cereal piensa que la cantidad promedio de cereal que está
depositando en cada caja es menos de 368 gramos. Para ello, se
selecciona una muestra aleatoria de 25 de estas cajas obteniéndose una
media de 364.1 gramos y una desviación estándar de 17.3 gramos.
Considere que la distribución de los pesos de las cajas de cereales es
normal y trabaje con un nivel de significancia 0.01. Esta en lo correcto el gerente?

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5.854.000 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Tomaremos como hipótesis nula Ho la del gerente, que el promedio < 368 gr, y como hipótesis alternativa Ha que la media es mayor de 368 gr

Ho: µ < 368

Ha: µ >= 368

Sea Y la variable peso de las cajas producidas.

Sea Z la media muestral de 25 observaciones de Y

Z es una distribución normal con la misma media de Y y con desviación estándar la de Y dividida por raíz cuadrada de n

Z ~ N(µ, s/sqrt(n))

Donde s = desviación estándar, sqrt=raíz cuadrada.

Para tipificar Z definimos una nueva variable

W = (Z-µ) / [s/sqrt(n)]

W ~ N(0,1)

Si miramos una tabla de N ~ (0,1), la región de rechazo con significancia 0,01 está entre 2.32 y 2.33. Por interpolación 2.3266. Si el valor de la variable W es superior a 2.3266 estaremos en la zona de rechazo que es simplemente el 0.01 de los valores, los más altos

Y el valor obtenido para W es

(364.1 - 368) / (17.3/5) = -3,9/3,46 = -1.12717

No está en la zona de rechazo, luego no podemos decir que sea incorrecto lo que dice el gerente. Por lo tanto diremos que es correcto.

Hola, por qué ocupaste la distribución z, si el n es tan pequeño y la varianza es desconocida (no se debería ocupar t-student?)

Tienes razón, no me acordaba del límite a partir del cual se puede emplear la distribución normal, ahora he comprobado que tiene que ser 30 o más.

También veo que se puede crear confusión si llamo Z a una variable como lo hice antes. Aquí siempre hemos llamado N a la distribución normal, no Z.

Sea Y la distribución del peso de las cajas.

Sea Ybarra la distribución de la media de 25 cajas

Usaremos como estadístico este (

W = (Ybarra - promedio estudiado)/(s/sqrt(n))

W = (Ybarra - 368) / (17,3/5) = (Ybarra-368) / 3,46 ~ t_24

W es una t-Student con 24 grados de libertad.

Hallemos el valor de una t_24 que tiene por debajo el 0,99 de la probabilidad

Ese valor de rechazo es 2,49215 si la muestra aleatoria da una valor superior para W sera rechazada Ho

W(364.1) = (364.1 - 368) / (3.46) = -3.9/3.46 = -1.12717

Es un valor inferior, luego se mantiene la hipótesis del gerente Ho de que la media es inferior a 368.

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Ya que aquí ha sido tan contundente el mantener la hipótesis, cabría preguntarnos que pasaría si hubiese sido al contrario, es decir, tomando:

Ho: µ = 368
Ha: µ < 368

Esto significa que no nos creemos lo que piensa el gerente y para darle la razón tendrá que haber razones convincentes.

Por simetría de la t-student, será necesario un valor inferior a -2,49215 para que se pueda refutar Ho, como la muestra aleatoria de -1,12717 no se podría refutar Ho.

Quien consigue hacer que su hipótesis sea tomada como la Ho es quien tiene las de ganar. Y más en este caso donde las exigencias para poder refutar eran tan grandes.

Y eso es todo.

Gracias, ahí me quedó mucho mas claro. me queda solo una pregunta, entonces dependería de cómo propongo las hipótesis nula y alternativa para el resultado?, porque en los 2 casos no se puede rechazar Ho, dando un poco lo mismo cual es el Ho

Muchas gracias de antemano

Por supuesto, el resultado depende de cuál es la hipotesís que se toma como Ho, es la hipótesis que tiene más posibilidades porque para refutarla se tendrá que aportar una prueba en contra muy fuerte. Fíjate en este problema, la hipótesis nula, sea la que sea, tiene un 99% de posibilidades de seguir airosa.

En algún problema te pueden decir cual es la hipotésis nula. Digamos por ejemplo que el peso medio de 368 va etiquetado en las cajas y hay una asociación de consumidores que denuncia a la empresa porque cree que ese no es el peso medio. El juez podría decir a los denunciantes que demuestren con un test de hipótesis que no es el peso medio para ganar el juicio. Entonces está claro que Ho sera la hipótesis de que el peso medio es 368.

Pero en el enunciado de este problema no aparece nada que nos haga tomar partido sobre cual es la hipótesis Ho puesto que no hay nada que se tenga por cierto previamente.

Eso es todo.

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