Variables bidimensionales curva de regresión

Te entiendo perfectamente, creo que los problemas más difíciles que me han mandado de estadística son precisamente de estudiantes de medicina. Y aquel que dejé sin hacer requiere unos conocimientos bastante profundos de Análisis Matemático. O se tienen o hay que aprender unas fórmulas complicadas sin saber el porqué.

Esta es la figura. En azul están los límites del dominio donde la probabilidad no es nula. Al ser uniforme la probabilidad la esperanza de Y|X=xo o de X|Y=yo son los puntos medios del segmento que va de un extremo a otro y pasa por esa coordenada x de xo o y de yo.

Tomando esos puntos medios tendremos las curvas de regresión que para el promedio de Y sobre X es la recta y=0

y para el promedio de X sobre Y la coordenada x del punto medio es x = (1+|y|)/2

Esos cálculos de la esperanza se hacen en realidad con integrales de funciones de probabilidad condicionada, pero con una función de densidad constante se hace de esa forma tan sencilla

$$\begin{align}&Promedio\; de \;Y \;sobre \;X = E(Y|X) =\\ &\\ &\int_{-\infty}^{\infty} yf(y|x)dy =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{yf(x,y)}{f_1(x)}dy \\ &\\ &\\ &\text{Calculamos la funcion de densidad marginal} f_1(x)\\ &\\ &f_1(x)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy =\int_{-x}^{x}dy=2x\\ &\\ &\\ &E(Y|X) = \int_{-x}^{x}\frac{y}{2x}dy = \frac{1}{2x}\left[\frac{y^2}{2} \right]_{-x}^{x}=\\ &\\ &\frac{1}{2x}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}\right)=\frac{0}{2x}= 0\\ &\\ &\\ &\\ &\text{- - - - - - - -}\\ &\\ &\\ &promedio X sobre Y= E(X|Y)=\\ &\\ &\\ &\int_{-\infty}^{\infty} xf(x|y)dx =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xf(x,y)}{f_2(y)}dx \\ &\\ &\\ &\text{Calculamos la funcion de densidad marginal} f_2(y)\\ &\\ &f_2(y)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = \int_y^1dx=1-y\\ &\\ &\\ &\\ &E(X|Y)=\int_y^1 \frac{x}{1-y}dx=\frac{1}{1-y}\left[\frac{x^2}{2}  \right]_y^1=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{1-y}\left(\frac 12 -\frac{y^2}{2}  \right)= \frac{1}{1-y}\left( \frac{(1+y)(1-y)}{2} \right)=\\ &\\ &\\ &\frac{1-y}{2}\\ &\end{align}$$

El coeficiente de correlación es:

$$\begin{align}&\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X·\sigma_Y}=\\ &\\ &\\ &\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2} \sqrt{E(Y^2)-[E(Y)]^2}}\\ &\\ &\\ &E(XY)=\int_0^1\int_{-x}^{x}xydydx=\\ &\\ &=\int_0^1 \left[\frac {xy^2}{2}\right]_{-x}^{x}dx=\int_0^10dx=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &E(X)=\int_0^1\int_{-x}^{x}xdydx=\\ &\\ &=\int_0^1\left[xy\right]_{-x}^xdx =\int_0^12x^2dx =\left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=\frac 23\\ &\\ &\\ &\\ &E(Y) = \int_0^1\int_{-x}^{x}ydydx=\\ &\\ &\\ &=\int_0^1 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-x}^xdx=\int_0^10dx=0\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &E(X^2) =\int_0^1\int_{-x}^{x}x^2dydx=\\ &\\ &=\int_0^1 x^2 \left[ y  \right]_{-x}^xdx=\int_0^1 2x^3dx=\left[\frac{2x^4}{4}\right]=\frac 12\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &E(Y^2)=\int_0^1\int_{-x}^{x}y^2dydx=\\ &\\ &\\ &=\int_0^1\left[\frac{y^3}{3}  \right]_{-x}^xdx = \int_0^1 \frac{2x^3}{3}dx=\left[\frac{2x^4}{12}  \right]_0^1=\frac 16\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\rho = \frac{0 -\frac 23·0}{\sqrt{\frac 12-\frac 49}\sqrt{\frac 16-0}}=0\end{align}$$

Bueno, hice cálculos de más porque solo con el numerador habría bastado, pero así ves como sería en un caso general.

Y eso es todo.