Anónimo
Teoría de números
sean a,b,m en los enteros donde \{0}.Demuestre que si (a,m)=1 y (b,m)=1 entonces (a.b,m)=1
1 Respuesta
Si (a, m)=1 significa que a y m no tienen ningun factor primo común.
De la misma manera por ser (b, m) =1 no hay factores primoscomunes entre b y m
Los factores primos de un producto son la unión de los factores primos de los números del producto. Luego los factores primos de ab son la unión de los de a y los de b
Como m no tenía ningún factor primo común ni con a ni con b, no tendrá ningún factor primo común con la unión de ellos y no tendra factores primos comunes con el producto ab, luego tendremos
(ab,m) = 1
Y eso es todo, espero que te isrvay lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar.
mi duda es si la demostración solo sehace con el dialogo??
Depende de como sea tu profesor, hay quienes les gusta ser muy puntillosos y quienes obvian los pequeños detalles. Además es que en esta página da mala gana hacer demostraciones porque no se pueden usar subíndices ni superíndices y queda todo muy feo. Y con el editor de fórmulas no se puede hacer mucho, es lento, se atasca y cuesta mucho.
$$\begin{align}&a=p_1^{n_1}·p_2^{n_2}···p_k^{n_k}\\ &\\ &b=q_1^{c_1}·q_2^{c_2}···q_j^{c_j}\\ &\\ &m=r_1^{d_1}·r_2^{d_2}···r_i^{d_i}\\ &\\ &donde\\ &\{p_1, ...,p_k,\;q_1, ...,q_j,\;r_1,...,r_i \} \subset \{ primos\}\\ &\{n_1,...,n_k,\;c_1,...,c_j,\;d_1,...,d_i \} \subset N\\ &\\ &(a,m)=1 \iff p_s\neq r_t\; \forall\; 1\le s\le k,\; 1\le t \le i\\ &\\ &(b,m)=1 \iff q_s\neq r_t\; \forall\; 1\le s\le j,\; 1\le t \le i\end{align}$$Y lo dejo aquí porque con la notación nos vamos a volver locos para expresar que el producto ab tiene los factores primos de a y b con el mismo exponente los que no se repiten y con la suma de exponentes en los factores que se repiten, luego los factores primos de ab son
{p1, ...., pk, q1, ..., qj}
Y ninguno de estos era igual a los factores primos {r1, ..., ri}
Por lo cual ab y m no tienen ningún factor primo común y por lo tanto
(ab, m) = 1
No me pidas alardes de notación, yo te daré las ideas y si quieres ponerlas con notación exquisita lo haces tú.
Otra forma.
(a,m) = 1 ==> existen x,y € Z tales que x·a + y·m = 1
(b,m) = 1 ==> existen z,t € > tales que z·b + t·m = 1
luego
(xa+ym)(zb+tm) = 1
xzab + xatm+ymzb+ymtm = 1
xzab + (xat+yzb+ymt)m = 1
luego existe una combinación lineal de ab y m igualada a 1, eso significa que
(ab,m)=1
Y eso es así porque si el mcd de dos números no es 1 no se puede hacer tal combinación lineal, veámoslo
saen dos números tales que (r,t) =d
r=ds
t=dx
ur + vt = uds + vdx = d(us+vx)
Luego cualquier combinación lineal es múltiplo del mcd,
Como hemos obtenido una combinación lineal igualada a 1 significa que el mcd es divisor de ella, es divisor de 1, luego es 1.
Y eso es todo.