Calcule el siguiente límite

Hay que usar la equivalencia

lim x-->0 senx / x = 1

te la habrán enseñado en la teoría o se deduce fácilmente por la fórmula de Taylor

senx = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

lim x-->0 de senx / x = lim x-->0 de (1 - x^2/3! + x^4/5! -...) = 1

entonces

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \frac{ln(sen\;ax)}{ln(sen\;bx)}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{ln\left(\frac{sen\;ax}{ax}·ax\right)}{ln\left(\frac{sen\;bx}{bx}·bx\right)}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{ln\left(\frac{sen\;ax}{ax}\right)+ln\,ax}{ln\left(\frac{sen\;bx}{bx}\right)+ln\,bx}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{ln\, 1+ ln\,ax}{ln \,1+ln\,bx}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{ln\,ax}{ln\,bx}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{lna+lnx}{lnb+lnx}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{\frac{lna+lnx}{lnx}}{\frac{lnb+lnx}{lnx}}=\\ &\\ &\lim_{x\to 0}\frac{\frac{lna}{lnx}+1}{\frac{lnb}{lnx}+1}=\frac{\frac{lna}{-\infty}+1}{\frac{lnb}{-\infty}+1}=\frac{0+1}{0+1}=1\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Yo pensaba que iba a depender de a y b pero ha salido que no.