Ayuda con ejercicios de integrales
hola valeroasm! Pues como me dijiste en la respuesta a la anterior pregunta, te voy a mandar cada pregunta un ejercicio de integrales ya sean impropias o definidas.
Uno de ellos es el siguiente: me piden calcular la siguiente integral impropia:
$$\int _{2}^{\infty }\dfrac {dx} {\left( x^{2}-1\right) ^{2}}$$pd: tengo que enviarte otros, es que si yo no doy con la respuesta, tengo que hacerlo. Tu me ayudas mucho a entender calculo!, disculpa el abuso.
1 Respuesta
Las raíces del denominador son 1 y -1, ambas dos veces por el cuadrado que le afecta.
De acuerdo con la teoría la descomposición de la integral en otras mas simples será esta:
$$\begin{align}&\frac{1}{(x^2-1)^2}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x-1}+\frac{d}{(x-1)^2}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{a(x+1)(x-1)^2+b(x-1)^2+c(x-1)(x+1)^2+d(x+1)^2}{(x^2-1)^2}\\ &\\ &\text{Omito el desarrollo, es muy pesado este editor.}\\ &\text{El numerador debe ser el polinomio 1, luego:}\\ &\\ &(a+c)x^3+(-a+b+c+d)x^2+(-a-2b-c+2d)x+a+b-c+d=1\end{align}$$$$\begin{align}&\text{Se deducen estas cuatro ecuaciones:}\\ &a+c=0\\ &-a+b+c+d=0\\ &-a-2b-c+2d=0\\ &a+b-c+d = 1\\ &\text{Si sumamos 1º con 3º y 2º con 4º}\\ &-2b+2d=0\\ &2b+2d=1\\ &4d=1\\ &d=1/4\\ &b=1/4\\ &\text{Sustituyendo en la segunda}\\ &-a+c = -1/2\\ &\text{La sumo a la primera}\\ &2c=-1/2\\ &c=-1/4\\ &a=1/4\\ &\end{align}$$$$\begin{align}&\text{Luego la integral descompuesta es:}\\ &\\ &\frac 14\int_2^{\infty} \left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2} \right)dx=\\ &\\ &\\ &\frac 14\left[ln|x+1|-\frac{1}{x+1}-ln|x-1|-\frac{1}{x-1} \right]_2^{\infty}=\\ &\\ &\\ &\frac 14\left[ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{2x}{x^2-1} \right]_2^{\infty}=\\ &\\ &\frac 14(ln 1-0-ln\,3+4/3) = \frac 13-\frac{ln\,3}{4}\approx0.05868026117\end{align}$$Y eso es todo.
perfecto pero dime una cosa, ¿porque al evaluar el limite de integración cuando x tiende a infinito en la expresión ln( (x+1)/(x-1)) te dió ln 1 ? es porque aplicaste la regla de L'Hopital en (x+1)/(x-1) ? ¿ también aplicaste L'Hopital en 2x/x^2 -1 y por eso el cero que te dió?
En realidad hay límites que se calculan sin necesidad de utilizar l'Hôpital, se aprenden antes de ello. Un límite del tipo polinomio entre polinomio en el +infinito no tiene ningún secreto. Si el numerador tiene más grado que el denominador tiende al signo del coeficiente de mayor grado, si el grado mayor lo tiene el denominador el límite es cero y si tienen el mismo grado el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Eso se demuestra dividiendo numerador y denominador por x al mayor grado, no es necesario l'Hôpital.
Entonces el limite en +infinito de (x+1)/(x-1) es el cociente de los coeficientes de la x, es 1/1=1. Y el límite en el +infinito de 2x/(x^2-1) es cero porque el grado del denominador es mayor que el del numerador.
