Función de densidad variables bidimensionales
sea (X,Y) una v.a. Con función de densidad conjunta:
f(x,y)={1, |y|<x, 0<x<1
determina
1: si son independientes
2. La covarianza
Gracias
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Las variables serán independientes y y solo si la función de densidad conjunta es el producto de las funciones de densidad marginales. Vamos a calcularlas por lo tanto.
El dominio donde la función de densidad no es nula es un triángulo con vértices en (0,0), (1,1) y (1,-1)
$$\begin{align}&f_1(x)=\int_{-x}^x1dy =y|_{-x}^x=x-(-x) = 2x\quad si \;0\le x\le1\\ &\\ &f_2(y)=\int_y^11dx=x|_y^1=1-y\quad si\; |y|\le 1\\ &\\ &f_1(x)·f_2(y) = 2x(1-y) \neq 1=f(x,y)\end{align}$$Luego no son independientes.
La covarianza de dos variables aleatorias es:
$$\begin{align}&Cov(X, Y) = E(XY) -\mu_1\mu_2\\ &\\ &\mu_1=\int_0^1\int_{-x}^xxdydx=\int_0^1xy|_{-x}^xdx=\\ &\\ &\int_0^1 2x^2dx = \frac 23x^3|_0^1 =\frac 23\\ &\\ &\\ &\\ &\mu_2=\int_0^1\int_{-x}^xydydx=\int_0^1 \left[\frac{y^2}{2}\right]_{-x}^x dx=\\ &\\ &\\ &\int_0^10dx =0\\ &\\ &\\ &E(XY)=\int_0^1\int_{-x}^xxydydx= \int_0^1 \left[\frac{xy^2}{2}\right]_{-x}^xdx=\\ &\\ &\\ &\int_0^1 0dx =0\\ &\\ &\\ &Cov(X,Y) = 0 - (2/3)·0 = 0-0 = 0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas en el futuro.
