Explicación de limites

Cuando tenemos un polinomio tal que p(x) tal que

p(xo) = 0

eso significa que xo es una raíz del polinomio y podremos escribir

p(x) = (x-xo)q(x)

Siendo q(x) un polinomio un grado menor.

Y si lo que tenemos son dos polinomios uno en el numerador y otro en el denominador que se anulan en el mismo punto xo, al ponerlos de esta forma se simplifican los factores (x-xo) y con ello desaparece la indeterminación en el límite.

Para hacer la descomposición

p(x) = (x-xo)q(x) hay que emplear un método para dividir polinomios, preferentemente la regla de Ruffini.

1) lim x-->0 de (3x^2 - 5x)/2x =

Este caso es muy sencillo no hace falta Ruffini. Sacamos la x de factor común en el numerador

lim x-->0 de x(3x-5) / 2x =

y ahora la simplificamos en numerador y denominador

= lim x-->0 de (3x-5) / 2 = -5/2

¡Ah! Con respecto a la notación fíjate en el símbolo que hay que usar delante de los exponentes y que el numerador y denominador deben ir entre paréntesis.

2) lim-->-4 de (x^2 + 3x - 4) / (x^2+8x+16) =

1 3 -4

-4 -4 4

--------------

1 -1 | 0

luego x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)

1 8 16

-4 -4 -16

--------------

1 4 | 0

luego x^2 + 8x +16 = (x+4)(x+4)

ahora que me doy cuenta se veía que era un cuadrado perfecto pero no me fijé.

Y sustituyendo estos valores en el límite tendremos

= lim x-->-4 de (x+4)(x-1) / [(x+4)(x+4)] =

lim x -->-4 de (x-1) / (x+4) = (-4-1) / (-4+4) = -5 / 0 = infinito

En concreto es +infinito por la izquierda y -infinito por la derecha.

Dependiendo del texto te dirán lo que te digo yo o en alguno te dirán que el límite no existe. No importa lo que te digo yo es lo más descriptivo, la función tiende a +infinito a la izquierda de -4 y a -infinito a su derecha.

3) lim x-->3 de (x^2-4x+3) /(x^2-9) =

Este lo haré de una forma distinta. El producto de las dos raíces de un polinomio de grado 2 es el término independiente y su suma es el coeficiente opuesto de la x

Luego el producto de las dos raíces es 3 y la suma 4

Esta calero que son 1 y 3, luego el numerador es (x-1)(x-3)

Y el denominador es un producto notable (x+3)(x-3)

Con lo cual el límite que queda es:

lim x-->3 de (x-1)(x-3) / [(x+3)(x-3)] =

lim x-->3 de (x-1) /(x+3) = (3-1) / (3+3) = 2/6 = 1/3