Usando el Teorema de De Moivre demuestre

La fórmula de Moivre es

$$[r(\cos\alpha+i·sen\alpha)]^n = r^n(\cos\,n\alpha+i·sen\,n\alpha)$$

La aplicamos con r=1 y n=3

$$\begin{align}&(cosx+i·senx)^3 = \cos\,3x+i·sen\,3x\\ &\\ &\text{desarrollamos la parte izquierda}\\ &\\ &\cos^3x+3cos^2x·i·senx+3cosx·i^2·sen^2x+i^3sen^3x=\\ &\\ &\cos^3x+ 3icos^2x·senx-3cosx·sen^2x-isen^3x=\\ &\\ &(\cos^3x-3cosx) + i(3cos^2x·senx-sen^3x)\\ &\\ &\text{igualando parte las partes imaginarias de la fórmula de Moivre}\\ &\\ &3cos^2x·senx-sen^3x=sen3x\\ &\\ &\text{No da directo, vamos a arreglarlo}\\ &\\ &3(1-sen^2x)senx - sen^3x = sen3x\\ &3senx-3sen^3x - sen^3x = sen3x\\ &\\ &3senx-4sen^3x=sen3x\\ &\\ &\text {ahora sí, solo cambiamos de lado los miembros}\\ &\\ &sen3x =3senx-4sen^3x\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.