Coordenadas esféricas ayuda
Hola Prof Valeroasm, espero este bien!
Tengo una duda con este ejercicio, lo resolví pero al final no se como efectuar el resultado que me da.
(x^2+y^2+z^2)=a^2 ---->esfera
y (x^2+y^2)=ay------>Cilindro Transformo--->y=acos?
$$\int_0^{2 \pi}\int_0^{\pi\2}\int_0^{a\cos?}r^2sen{F}\,\mathrm{d}r{d}?{d}F$$al final me da un resultado asi (no se si en realidad lo resolví mal si la gráfica o la trasformación :
$$\frac{a}{3}^3+ \frac{a}{3}^3$$
1 Respuesta
El enunciado dice: CALCULAR EL VOLUMEN ESFERA-CILINDRO DE
(x^2+y^2+z^2)=a^2 ---->esfera Y (x^2+y^2)=ay------>Cilindro
Entiendo que quieres decir el volumen de la esfera menos el cilindro.
Si hacemos la proyección sobre el plano z=0 de esfera y cilindro tendremos estas ecuaciones
x^2+y^2 = a^2
x^2+y^2 = ay
Con la segunda podemos hacer unos arreglos
x^2 + y^2 - ay = 0
x^2 +(y - a/2)^2 - (a/2)^2 = 0
x^2 +(y - a/2)^2 = (a/2)^2
Luego son estas dos funciones la intersección con el plano z=0
1) x^2 + y^2 = a^2
2) x^2 + (y - a/2)^2 = (a/2)^2
La 1 es una circunferencia de radio a centrada en el origen
La segunda es una circunferencia de radio a/2 con centro en (0, a/2)
Luego es una circunferencia la mitad de pequeña sobre la semicircunferencia superior de la primera.
Más sencillo que calcular el volumen sobre el dominio amarillo será calcularlo sobre el dominio blanco y restarlo del volumen de la circunferencia que es una fórmula de conocimiento público.
Las coordenadas apropiadas para el calculo del volumen de ese cilindro son las cilíndricas, las esféricas muy mal.
Lo malo es que la variable ro (radio vector en el plano) de las coordenadas cilíndricas no es fácil de calcular.
Lo que haremos será bajar todo a/2 hacia abajo, de forma que el centro del cilindro sea (0,0)
Eso se consigue sustituyendo la variable y por (y+a/2)
De esta forma la ecuación de la esfera será
x^2 + (y+a/2)^2 + z^2 = a^2
y la del cilindro
x^2 + y^2 = (a/2)^2
El volumen del cilindro dentro de la esfera en cartesianas será
$$V=\int_{-a/2}^{a/2}\int_{-\sqrt{\frac{a^2}{4}-x^2}}^{\sqrt{\frac{a^2}{4}-x^2}}\int_{-\sqrt{a^2-x^2-\left(y-\frac a2\right)^2}}^{\sqrt{a^2-x^2-\left(y-\frac a2\right)^2}}dz\,dy\,dx$$Mientras que en cilíndricas (una vez que el cilindro ya está centrado en el origen) el dominio se puede definir mediante
0 <= theta <= 2pi
0 <= ro <= a/2
teniendo en cuenta que el cambio es
x = ro·cos(theta)
y = ro·sen(theta)
la z será
$$\begin{align}&-\sqrt{a^2-x^2-\left(y-\frac a2\right)^2}\le z\le \sqrt{a^2-x^2-\left(y-\frac a2\right)^2}\\ &\\ &-\sqrt{a^2-\rho^2cos^2\theta-\rho^2sen^2\theta+a\rho sen\theta-\frac{a^2}{4}}\le z \le\\ &\sqrt{a^2-\rho^2cos^2\theta-\rho^2sen^2\theta+a\rho sen\theta-\frac{a^2}{4}}\\ &\\ &\\ &-\sqrt{a^2-\rho^2+a\rho sen\theta-\frac{a^2}{4}}\le z \le \sqrt{a^2-\rho^2+a\rho sen\theta-\frac{a^2}{4}}\\ &\\ &\end{align}$$Y no olvidemos que el módulo del jacobiano del cambio es ro
Con todo esto y una pequeña simplificación que consiste en dividir el cilindro en su parte superior e inferior y calcular el volumen de uno y multiplicar por 2 queda que el volumen del cilindro es
$$V_C=2\int_0^{2\pi}\int_0^{a/2}\rho \sqrt{a^2-\rho^2+a\rho sen\theta-\frac{a^2}{4}}\;d\rho\,d\theta=$$Y esa integral cae completamente fuera del alcance de lo que puede hacer una persona en su sano juicio.
Se han pasado varios pueblos con el ejercicio.
profe perdón la equivocación serie calcular el volumen esfera cilindro de (x^2+y^2+z^2)=a^2 (x^2+y^2)=ay
No lo entiendo, pero es lo mismo calcular el areá del cilindro con la esfera como techo y suelo que el área de la esfera quitándole el cilindro. Lo que es complicado es calcular el volumen del cilindro con la esfera de techo y suelo. Yo creo recordar que hice este ejercicio pero era con un cilindro centrado, no con este que esta desplazado. Y esta integral no la hace cualquiera. Si te dejan emplear ordenador todo lo que quieras, pero si no no la haces.
