Momento de inercia y volumen del elipsoide

Bladdy 1227!

Te dicen el cambio de variable qeu se debe hacer, luego no hay más que seguir la teoría. Calcular el Jacobiano y hacer el cambio. Dicen de hacer un cambio de las coordenadas x, y, z a otras u, v, w de esta forma

x=au

y=bv

z=cw

El jacobiano ya sabes que tiene en la primera fila las parciales de x, y, z respecto a u, en la segunda respecto a v y en la tercera respecto a w.

Es muy sencillo

|a 0 0|
|0 b 0| = abc
|0 0 c|

En un elipsoide centrado con esta ecuación

x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1

los semiejes en x,y,z son respectivamente a,b,c.

La cubierta superior del elipsoide es la función:

$$\begin{align}&z=c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\\ &\\ &\text{y la inferior es:}\\ &\\ &z = -c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\end{align}$$

E dominio es la proyección del elipsoide sobre el pano z= 0, es decir, la elipse

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

luego si damos valores a fijos a x tenemos que los límites de integración son

$$\begin{align}&x \in[-a,a]\\ &\\ &y \in\left[-b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},\;b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right]\\ &\\ &\end{align}$$

Luego el volumen es una integral doble a través del dominio de integración de la diferencia de la cubierta superior del elipsoide menos la inferior

$$\begin{align}&V=\int_{-a}^a\int_{-b \sqrt{1-x^2/a^2}}^{b \sqrt{1-x^2/a^2}}\;\;2 \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\;\;dydx\\ &\\ &\text{haremos el cambio y multiplicaremos por el jacobiano}\\ &\\ &x=au\quad x=a \implies u=1\\ &\\ &y=bv \quad y=b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\implies v=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\sqrt{1-u^2}\\ &\\ &z=cw \quad z=c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}\implies \\ &\\ &w=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}=\sqrt{1-u^2-v^2}\\ &\\ &\text {aplicamos el cambio}\\ &\\ &V=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}}2abc \sqrt{1-u^2-v^2}\;dv\,du=\\ &\\ &2abc \int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}} \sqrt{1-u^2-v^2}\;dv\,du=\end{align}$$

Tras el cambio, lo que hay dentro de la integral es el volumen de una semiesfera de radio 1 que es

(2/3)Pi

luego a partir de eso ya tenemos el volumen del elipsoide

V = 2abc·(2/3)Pi = (4/3)Pi·abc

Ahora bien, si no vale usar que se conoce el volumen de la esfera tendremos que hacer un cambio a coordenadas esféricas. En la teoría debe aparecerte que es cambio es así:

$$\begin{align}&u=r \;sen\varphi\; \cos \theta\\ &v=r\;sen\varphi\; sen\theta\\ &w=r\;\cos\varphi\\ &Jacobiano = r^2sen\varphi\\ &\\ &\text{Y el volumen de la circunferencia unidad es}\\ &\\ &V=\int_{0}^1\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\pi}r^2sen\varphi\;d\varphi\, d\theta\,dr=\\ &\\ &\int_0^1 r^2\int_0^{2\pi}[-\cos\varphi]_0^{\pi} d\theta\,dr=\\ &\\ &\int_0^1 r^2\int_0^{2\pi}(1+1) d\theta\,dr=\\ &\\ &2\int_0^1 r^2\left[\theta  \right]_0^{2\pi} d\theta\,dr=\\ &\\ &2\int_0^1 r^2(2\pi -0) d\theta\,dr=\\ &\\ &4\pi\int_0^1r^2dr=4\pi\left[\frac{r^3}{3}  \right]_0^1=\frac 43 \pi\end{align}$$

Y con esto hacemos lo mismo que hicimos antes y el volumen del elipsoide es

V=(4/3)Pi·abc

Y eso es todo, epero que que te sirva y lo hayas entendido.

La pregunta del momento de inercia en otra pregunta por favor, son preguntas muy largas.