Función de variable compleja
encontrar la parte real e imaginaria de
$$f(z)=\frac{z-1}{z+1}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Hay que conseguir que el denominador sea real. Cuando multiplicamos un número por su conjugado conseguimos eso. Lo que haremos será multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.
$$\begin{align}&f(z)=\frac{z-1}{z+1}·\frac{\overline{z+1}}{\overline{z+1}}=\\ &\\ &\\ &\frac{(Re(z)-1+Im(z)\,i)(Re(z)+1-Im(z)\,i)}{[Re(z)+1]^2+[Im(z)]^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{[Re(z)]^2-1+[Im(z)]^2+Im(z)\,i[Re(z)+1-Re(z)+1]}{[Re(z)+1]^2+[Im(z)]^2}=\\ &\\ &\\ &\frac{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-1+2\,Im(z)\,i}{[Re(z)+1]^2+[Im(z)]^2}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &Re[f(z)] =\frac{[Re(z)]^2+[Im(z)]^2-1}{[Re(z)+1]^2+[Im(z)]^2}\\ &\\ &Im[f(z)] =\frac{2\,Im(z)}{[Re(z)+1]^2+[Im(z)]^2}\end{align}$$Y eso es todo.
