Hallar el valor de equis
$$2^x + 2^{x+2} = 40$$Necesito hallar el valor de equis en cada ecuación. Sería muy amable que me expliques los pasos para poder tener conocimiento también. Espero su respuesta! Muchas gracias.
$$log_2(x+1) + log_2 (x+1) = 3$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
Extraeremos factor común en la izquierda
$$\begin{align}&2^x+2^{x+2}= \\ &2^x + 2^x·2^2=\\ &2^x(1+2^2) =\\ &2^x(1+4)=\\ &2^x·5\\ &\\ &\text{y eso es 40 luego}\\ &\\ &2^x·5 = 40\\ &2^x = \frac{40}{5}\\ &2^x=8\\ &2^x=2^3\\ &x=3\end{align}$$En la segunda hacemos uso de la propiedad que la la suma de logaritmos es el logaritmo del producto
$$\begin{align}&log_2(x+1) + log_2 (x+1) = 3\\ &\\ &log_2[(x+1)(x+1)] = 3\\ &\\ &log_2[(x+1)^2] = 3\\ &\\ &(x+1)^2 = 2^3\\ &\\ &(x+1)^2 = 8\\ &\\ &x+1 = \sqrt 8 = 2 \sqrt 2\\ &\\ &x = 2 \sqrt 2 - 1\end{align}$$Nótese que no hemos tomado la respuesta x+1 = - 2·raíz(2) ya que entonces la expresión inicial serían logaritmos de números negativos, que no existen.
Espera, este segundo tenía un camino más directo
$$\begin{align}&log_2(x+1) + log_2 (x+1) = 3\\ &2log_2(x+1)=3\\ &log_2(x+1) = \frac 32\\ &\\ &x+1 = 2^{\frac 32}\\ &\\ &x = 2^{\frac 32}-1\\ &\\ &\text {que es lo mismo que antes ya que}\\ &\\ &2^{\frac 32}=\sqrt{2^3}=2 \sqrt 2\end{align}$$Y eso es todo.
