Dada la función polinómica

¿Me gustaría saber que curso estudias o que carrera? Como en cada país llaman de su manera a los cursos dime cuantos años tienes para situarme mejor.

Es que una de dos, este tipo de problemas o son muy fáciles o son casi imposibles. Entonces por el curso también puedo saber que métodos se pueden emplear y cuáles no. Aunque creo que más bien nos encontramos con problemas de colegio.

Bueno, sin saber que métodos se pueden usar, los resuelvo de todas formas.

f(x) = x^5 - 3x^4 - 3x^3 + 11x^2 - 6x

a) Factorizar sobre los reales.

La primera respuesta es 0 es ovbia

f(x) = x(x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x -6)

Ahora probemos si el 1 hace cero el segundo factor

1-3-3+11-6 = 0

Pues sí menos mal

Usamos Ruffini para calcular el cociente

  | 1  -3  -3  11  -6
1 |     1  -2  -5   6
    1  -2  -5   6  | 0

f(x) = x(x-1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6)

Probamos el 1 de nuevo

1-2-5+6 = 0

Que bien

Y de nuevo usamos Ruffini para hallar el cociente

  | 1  -2  -5  6
1 |     1  -1 -6
    1  -1  -6 |0

f(x) = x(x-1)^2·(x^2 - x - 6)

El 1 y -1 ya se ve desde lejos que no sirven, el 2 tampoco, pero el -2

4+2-6

Y el último factor se calcula directamente porque el producto de las raíces debe ser -6.

La factorización es:

f(x) = x(x-1)^2(x+2)(x-3)

Los ceros son -2 0, 1, 3 (siendo el 1 doble cero)

La tabla de signos es

(-Oo,-2) NEGATIVO porque es un polinomio de grado impar que en -oo vale -oo

(-2, 0) POSITIVO porque cambia de signo. LUego lo comprobaremos de todas formas

(0,1) NEGATIVO porque cambia de signo en el 0. Lo comprobaremos.

(1, 3) NEGATIVO porque no cambia de signo en el 1. Lo comprobaremos

(1,+oo) POSITIVO porque en +oo este polinomio con coeficiente directos positivo vale +oo

Bueno, a lo mejor he usado métodos que sean de estudios superiores. Lo que hacemos es verificar tomando puntos intermedios, recuerdo que f(x) es esto

f(x) = x(x-1)^2(x+2)(x-3)

f(-3) = -3(-4)^2(-1)(-6) = 5 signos - dan - (téngase en cuenta que el cuadrado son dos signos) luego negativa en (-oo,-2)

f(-1) = -1(-2)^2(1)(-4) = 4 signos - dan + luego positiva en (-2, 0)

f(0.5) = 0,5(-0,5)^2(2.5)(-2.5) = 3 signos - dan - luego negativa en (0, 1)

f(2) = 2(1)^2·4·(-1) un signo - da -, luego negativa en (1,3)

f(4) = 4(3)2·6·1 todo positivo luego positiva en (3,+oo)

c) El bosquejo te lo dejo a tí. Simplemente viendo donde están los ceros y el signo de cada intervalo se hace una especie de U o n. Fijarse que en el punto x=1 no cambia de signo, la gráfica toca el cero y rebota.

Ya ha sido suficiente con esto, la pregunta se alarga demasiado.

Lo de las inecuaciones mándalo en otra pregunta y mira a ver qué pasa con la b) porque ha salido algo rara que no la entiendo y aparte no es inecuación porque no tiene desigualdad.