Ayuda con problema sobre circunferencia 2
hola vale , disculpa por otra pregunta [ tengo examen y quiero aprobar ]
dice:
la distancia entre las rectas x +2y.a = 0 , x +2y +4a =0 , es 2 *sqrt(5). Halle la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas rectas y cuyo centro esta en el eje Y
1 Respuesta
En el plano solo tiene sentido la distancia entre dos rectas cuando son paralelas, para ello el vector director tendría que ser paralelo y por tanto los coeficientes de x e y en las dos ecuaciones proporcionales
x + 2ya = 0
x + 2y + 4a = 0
Puesto que tienen igual el coeficiente en x deben tenerlo igual en y, luego a=1
Las rectas serán
r1: x + 2y = 0
r2: x + 2y + 4 = 0
Vamos a asegurarnos que esto no contradice el dato sobre la distancia entre las rectas, no sea que pase como con ese problema de enunciado incorrecto.
Tomemos un punto de una recta yu calculamos la distancia a la otra
(2, -1) se ve que pertenece a r1
d((2,-1), r2) = |2-2+4| / sqrt(1+4) = 4/sqrt(5) = 4sqrt(5) / 5
Pues la distancia no es la que dicen. Mira a ver si está bien el enunciado o si lo interpreté mal. Pero si las ecuaciones son las que escribí al principio, no está bien el enunciado.
si me equivoque en el enunciado , disculpa
es
la distancia entre las rectas x +2y - a = 0 , x +2y +4a =0 , es 2 *sqrt(5). halle la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas rectas y cuyo centro esta en el eje Y
Si, ahora si son paralelas y podemos ver si la distancia es correcta.
El punto (a, 0) € r1 calculamos la distancia a r2
d= |-a+4a|/sqrt(5) = |3a|/sqrt(5) = 3|a|·sqrt(5) / 5
eso tiene que ser 2sqrt(5) luego
3|a|/5 = 2
|a| =10/3
¿No dice nada el enunciado de que a tenga que ser positivo?
Espera, me equivoqué, la distancia del punto (a, 0) a r2 es
d = |a+4a|/sqrt(5) = 5|a|/sqrt(5) =|a|sqrt(5)
Y eso es 2sqrt(5)
Luego a = 2 o -2
El diámetro entre los puntos de tangencia será perpendicular a las rectas, y su punto medio (centro de la circunferencia) estará en el eje Y. Si consideramos ese diámetro, el eje Y y las rectas r1y r2 tendremos dos triángulos semejantes por ser opuestos por el vértice y ser paralelos los lados opuestos a ese vértice. Como el lado del diámetro es igual en ambos triángulos también lo es el lado del eje Y. Luego el centro de la circunferencia está en el punto medio entre los cortes de las rectas con el eje Y.
Calculamos esos puntos de corte.
Para a = 2
r1: 2y -2= 0 ==> y =1
r2: 2y + 8 = 0 ==> y = -4
Luego el punto medio es y =(1-4)/2 = -3/2
El centro de la circunferencia es (0, -3/2)
Y el radio será la distancia de este punto a cualquiera de las dos rectas
d=|2(-3/2)-2| / sqrt(5) = |-5|/sqrt(5)| = sqrt(5)
Luego la ecuación canónica de la circunferencia es
x^2 + (y+3/2)^2 = 5
Es lo que decía ABC y A'B'C son semejantes luego
1 = AC / A'C = BC / B'C
y por tanto BC = B'C
Análogamente se hace el cálculo para a=-2
Y eso es todo.
