Derivar el problema siguiente

Debemos calcular la de derivada de la temperatura respecto del tiempo.

La fórmula de la cadena dice

$$\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dr}·\frac{dr}{dt}$$

Nos dan la función T(r) y r(t) con lo cual podemos calcular las derivadas de la parte derecha.

$$\begin{align}&\frac{dT}{dr}=\frac{2r+4}{2 \sqrt{r^2+4r+10}}=\frac{r+2}{\sqrt{r^2+4r+10}}\\ &\\ &\\ &\frac{dr}{dt}=-\frac{5000·8t}{(4t^2+1)^2}=-\frac{40000t}{(4t^2+1)^2}\\ &\\ &\\ &\frac{dT}{dt}=-\frac{40000(r+2)t}{(4t^2+1)^2 \sqrt{r^2+4r+10}}\\ &\\ &\\ &\text{calculamos el valor r(10)}\\ &\\ &r(10)=\frac{5000}{4\,·\,10^2+1}=\frac{5000}{401}\\ &\\ &\text{Y ahora susituimos todo}\\ &\\ &\left.\frac{dT}{dt}\right|_{t=10}=-\frac{40000(\frac{5000}{401}+2)10}{(4\,·\,10^2+1)^2 \sqrt{\left(\frac{5000}{401} \right)^2+4 \left(\frac{5000}{401} \right)+10}}=\\ &\\ &\\ &-\frac{400000\left( \frac{5802}{401}\right)}{401^2 \sqrt{\frac{25000000}{401^2}+\frac{20000}{401}+10}}=\\ &\\ &-\frac{\frac{2320800000}{401}}{401^2 \sqrt{\frac{25000000+8020000+1608010}{401^2}}}=\\ &\\ &\\ &-\frac{2320800000}{401^2 \sqrt{34628010}}\approx\\ &\\ &\\ &- 2.452647887\;º/min\\ &\end{align}$$

Y esa es la razón de cambio de la temperatura a los 10 min. Es negativa luego está disminuyendo.

Si no te exigen trabajar con números racionales, podrías haber tomado tan pronto com pudieras

r = 5000 / 401 = 12.46882793

Y haber hecho las cuentas con calculadora.

Y eso es todo.