Las derivadas de las funciones
Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado.
y=cosx
y=sec^2x
x=-Pi/4
x=Pi/4
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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También en el de las x
Hacemos la gráfica aunque no presenta ninguna dificultad. Las dos funciones son pares luego podemos calcular el volumen entre 0 y pi/4 y multiplicar por 2.
$$\begin{align}&V=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left[sec^4x-\cos^2x \right]dx\\ &\\ &\text{Las hacemos por separado}\\ &\\ &\int sec^4xdx=\\ &\\ &u=sec^2x\quad du=2secx·secx·tgx\,dx=2sec^2x·tgx\,dx\\ &dv=sec^2xdx\quad v=tgx\\ &\\ &=sec^2x·tgx -2\int sec^2x·tg^2x\,dx=\\ &\\ &t=tgx\quad dt=sec^2x\,dx\\ &\\ &sec^2x·tgx -2\int t^2dt=\\ &\\ &sec^2x·tgx-\frac{2t^3}{3}=\\ &\\ &sec^2x·tgx-\frac{2tg^3x}{3}\\ &\\ &\text {que entre 0 y }\pi/4\; es\\ &\\ &\left(\frac{1}{\frac{\sqrt 2}{2}}\right)^2·1-\frac{2·1^3}{3}-0+0=2 -\frac 23=\frac 43\\ &\\ &\\ &\text{Y la otra}\\ &\\ &\int \cos^2xdx=\int \left(\frac 12+\frac{\cos 2x}{2}\right)dx=\\ &\\ &\frac x2+\frac{sen 2x}{4}\\ &\\ &\text {que entre 0 y }\pi/4\; es\\ &\\ &\frac{\pi}{8}+\frac 14-0-0=\frac{\pi+2}{8}\\ &\\ &\text{Y el volumen es:}\\ &\\ &2\pi\left(\frac 43-\frac{\pi+2}{8} \right)=2\pi \frac{32-3\pi-6}{24}=\\ &\\ &\\ &\frac{26\pi-3\pi^2}{12}\end{align}$$Y eso es todo.
