Determine los valores de que para los cuales la siguiente integral converge

$$\int_0^2\left(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^2} \right)^k dx$$

No intentes integrarla, para cada valor de k es distinta y en muchos casos imposible. Es en el punto x=0 donde la función es discontinua lo único que nos interesa para conocer la convergencia es la integral en un intervalo [0, b] con b tan pequeño como nos haga falta, si por ejemplo tomamos [0,1] tendrémos que el numerador es menor que 1 en ese intervalo y por tanto tendremos

$$\begin{align}&\left(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^2}\right)^k\le \left(\frac{1}{x^2}\right)^k\le \frac{1}{x^{2k}}\\ &\\ &\int_0^1 x^{-2k}dx = \left[\frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\right]_0^1\\ &\\ &\text{Converge si -2k+1}\gt 0\\ &\text{ya que con -2k=-1 es el logaritmo neperiano que diverge}\\ &\\ &2k\le 1\\ &k \le \frac 12\end{align}$$

La función que queremos integrar es positiva y menor que la que hemos integrado ahora. Si esta segunda converge la original converge

Luego de momento sabemos que para k<1/2 converge

Ahora tengo que dejar el ordenador y mando esto antes de dejarlo.

Quizá mejor que lo que he hecho sea comparar la función que nos dan con la función g(x) = x^(-k).

He comprobado aplicando la regla de l'Hôpital que el limite cuando x-->0 de f(x)/g(x) es finito

Entonces donde g converge f converge y donde g diverge diverge f.

Y g converge cuando - k+1>0

-k >-1

k<1

Esa es la solución, converge para k<1