Demostrar que los ángulos suplementarios

Dada una recta en la forma

Ax + By + C = 0

El vector director es (B, -A)

Se puede demostrar a partir de la pendiente. Por ejemplo

By = -Ax - C

y = (-A/B)x - (C/B)

La pendiente es (-A/B) y la pendiente es el cociente de la coordenada y del vector entre la x, luego la coordenada y es -A y la coordenada x es B y el vector es (B, -A)

Entonces los vectores de las dos rectas son (B, -A) y (B', -A')

El producto escalar de dos vectores es

u·v = |u|·|v|·cos(a)

Donde a es el ángulo que forman

A su vez el producto escalar conocidas las componentes del vector es asi para nuestros vectores:

(B, -A)·(B', -A') = BB' + AA'

Por lo tanto podemos igualar el valor del producto escalar obtenido de dos formas diferentes:

BB' + AA' = |(B, -A)|·|(B', -A')|·cos(a) =

sqrt(B^2+A^2)·sqrt(B'^2+A'^2)· cos(a) =

sqrt[(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]·cos(a)

tomando el primer y ultimo término podemos despejar cos(a) así:

cos(a) = (BB' + AA') / sqrt[(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]

Para calcular la tangente nos falta el seno, que se puede calcular como

sen(a) = sqrt(1-cos^2(a))=

sqrt (1- (BB' + AA')^2 / [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]) =

sqrt{[(B^2+A^2)(B'^2+A'^2) - (BB' + AA')^2] / [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]} =

sqrt{[B^2·B'^2+B^2·A'^2+A^2·B'^2+A^2·A'^2 - B^2·B'^2-A^2A'^2-2·AA'BB'] / [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]} =

sqrt{[B^2·A'^2+A^2·B'^2-2AA'BB'] / [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]} =

Y casualidades de la vida, el numerador es un cuadrado

sqrt {(A'B - AB')^2 / [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]} =

(A'B - AB') / sqrt [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]

Recuerdo que la cuenta que tanto nos ha costado es:

sen(a) = (A'B + AB') / sqrt [(B^2+A^2)(B'^2+A'^2)]

Y ya conocidos el seno y el coseno hallamos el cociente que es la tangente. No lo voy a escribir todo porque no cabe en una línea. Ya se ve que los denominadores son iguales, luego se van a simplificar y al final quedará solo esto

tg(a) = (A'B - AB') / (BB' + AA')

Que es lo que nos pedían demostrar.

Y eso es todo.