Sea un conjunto de rectas paralelas en un plano tales que cortan a una recta que de forma transversa

Es verdadero. Hagamos el dibujo para verlo. Las distintas rectas paralelas son las que pasan por AA', BB', CC', DD'. Y cortan en segmentos congruentes a la recta AB ~ BC ~CD

La otra recta es la A'D'. Ambas rectas se cortarán en un punto E salvo que sean paralelas. Si son paralelas se forman paralelogramos y AB ~ A'B', BC ~ B'C', CD ~ C'D' con lo cual por la propiedad transitiva de la relación de congruencia se llega fácilmente a deducir

A'B' ~ B'C' ~ C'D'

Y si no son paralelas trazamos las paralelas a AD pasando B', C' y D'. Los ángulos alfa son iguales por ser correspondientes respecto de esta paralelas que hemos trazado y los ángulos beta lo son por ser correspondientes respecto de las rectas originales, entonces los triángulos

A'B'J ~ B'C'I ~ C'D'F

son congruentes.

Por tanto, por el teorema de Thales se cumple esto con las distancias de los segmentos de los dos primeros triángulos.

A'B' / B'C' = B'J / C'I = JA' / IB'

Pero por ser paralelos estas distancias son iguales

AB = JB'

BC = IC'

y como AB = BC entonces

JB'=IC'

JB' / IC' = 1

con lo cual

A'B' / B'C' = 1

A'B' = B'C'

Y lo mismo se demuestra con el segmento C'D' y cuantos hubiera.

Y eso es todo.