Obtenga una ecuación de la recta tangente

Hola valero:

Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de

$$f(x)=xtan^{-1}(x)$$

en el punto cuya abscisa es x= 1.

Espero tu ayuda

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1

La fórmula para la recta tangente a una curva en un punto (xo, yo) es

y = yo + f '(xo)(x-xo)

Luego lo primero será calcular la derivada

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x}{tgx}\\ &\\ &f'(x) = \frac{tgx-\frac{x}{\cos^2x}}{tg^2x}=\frac{cosx}{senx}-\frac{x}{sen^2x}\end{align}$$

Con las funciones trigonométricas no hay criterio único de como dejarlas. El mio es no usar nunca la ctg, sec y csc.

Mi forma favorita para la derivada de la tangente es 1+tg^2(x) pero reconozco que a veces queda más simplificada con 1/cos^2(x), lo que no me gusta de este ejercicio es que el punto sea x=1, podrían haber puesto pi, pi/2, pi/3, pi/4, pi/6 o algo así para no tener que dejar las funciones trigonométricas y hacerme pensar en como queda mejor.

Es que la forma que mejor, sobre todo si se escribe en línea seguida es

f '(1) = ctg(1) - sec^2(1)

aunque soy alérgico a ella.

Bueno, la recta tangente será

y = ctg(1) + [ctg(1) - sec^2(1)](x-1)

y = sec^2(1) + x[ctg(1) - sec^2(1)]

Y eso es todo.

Tengo una duda...

¿por qué pusiste sec^2(1)... después de x/sen^2...

o sea es lo mismo x/sen^2 que sec^2?

Yo pensé que era 1/sen^2 y no x/sen^2 para convertirla a sec^2.

Si, lo hice mal y es por no haber seguido mi norma de usar solo los senos, cosenos y tangentes. Cuando me meto con las otras como no las empleo nunca me lio.

Lo auténtico es 1/sen^2(x) = csc^2(x)

Con lo cual la parte final es

f '(1) = ctg(1) - 1·csc^2(1) = ctg(1) - csc^2(1)
Y la recta tangente será
y = ctg(1) + [ctg(1) - csc^2(1)](x-1)
y = csc^2(1) + x[ctg(1) - csc^2(1)]

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