Escriba en la forma a + bi ; el valor de ( 1 / (1+i) )^10

Primero vamos a eliminar el denominador, es se consigue multiplicando y dividiendo por el conjugado

$$\begin{align}&\left(\frac{1}{1+i}\right)^{10}=\left(\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}\right)^{10}=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{1-i}{1-i^2}\right)^{10}=\left(\frac{1-i}{2}\right)^{10}=\frac{(1-i)^{10}}{1024}\\ &\\ &\\ &\text{Pasamos el numerador a forma polar}\\ &\text{El módulo se eleva a la 10}\\ &|1-i|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\\ &|(1-i)^{10}|=(\sqrt 2)^{10}=2^5=32\\ &\\ &\text {y el ángulo se multiplica por 10}\\ &\alpha=arctg \left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)=arctg\left(\frac{-1}{1}\right)=arctg(-1)\\ &\\ &\text {es el ángulo de 45º en el 2º o 4º cuadrante}\\ &\text {como 1-i está el el 4º es 315º ó }3\pi/2\\ &\\ &10\alpha=30\pi/2=15\pi\\ &\text {le restamos un múltiplo de  2}\pi \;que\; es\;14\pi\\ &\\ &15\pi-14\pi=\pi\\ &\\ &\text{Resumiendo } \\ &\\ &(1-i)^{10}= 32_{\pi}=32(\cos \pi+isen\pi)=-32\\ &\\ &\text {No nos olvidemos del denominador}\\ &\\ &\left(\frac{1}{1+i}\right)^{10}=\frac{(1-i)^{10}}{1024}=\frac{-32}{1024}=-32\end{align}$$

Y eso es todo.