Derivadas de funciones. Matematicas
Con frecuencia se presentan en nuestra vida casos cuya solución consiste en establecer valores extremos (máximos o mínimos) de una función. Si podemos o sabemos cómo plantear la función requerida, nos será posible resolver muchos de estos casos de
aplicación práctica.
Una empresa estima que el costo, en dólares, de
producción de x unidades de cierto producto es C=800+0.04x+0.0002x^2.
Calcular el nivel de producción que hace mínimo el costo medio por unidad. Si sabemos que
el costo medio se denomina
$$C$$
y es igual a
$$C=c/x$$
1 respuesta
¡Qué lío con las letras!
Mejor vamos a llamar CMe al costo medio, esta sería la fórmula
CMe(x) = C(x) / x
Entonces el costo medio de esta empresa es
CMe(x) = (800+0.04x+0.0002x^2) / x = 800/x + 0.04 + 0.0002x
Para calcular el mínimo derivamos
CMe'(x) = -800/x^2 +0.0002
Ahora lo igualamos a 0 y resolvemos
-800/x^2 +0.0002 = 0
-800/x^2 = -0.0002
800/x^2 = 0.0002
800 = 0.0002·x^2
x^2 = 800 / 0.0002 = 4000000
x = sqrt(4000000) = +- 2000 unidades
Producir -2000 unidades no tiene sentido luego tiene que ser producir 2000 unidades.
El que es un mínimo se puede comprobar por el criterio de la derivada segunda, no se si lo habrás dado
CMe''(x) = 1600x/x^4 = 1600/x^3
CMe''(2000) = 1600 / 2000^3 es positivo, luego es un mínimo.
Y si no has dado ese criterio puedes decir que la función es continua y derivable en (0,+oo)
Y el limite en 0 es +oo y en +oo es +oo luego el extremo relativo es un mínimo.
Y eso es todo.
