Integral definida entre 0 e infinito de dx sobre la raíz cuadrada de e^2

Hay una diferencia entre lo que dice el título y el enunciado de laq pregunta, en un sitio es e^2 en el otro e^x. Aparte hay un \"data-text que supongo no significa nada.

En las integrales suele ser bueno traducir las raíces y denominadores a lenguaje exponencial. Nos va a quedar algo tan simple como:

$$\int_0^\infty \sqrt{e^x} dx =\int_0^\infty e^{-\frac{x}{2}}dx =-2 e^{-\frac{x}{2}}|_0^\infty =0+2 = 2$$

Y eso es todo, era sencillo. Pero si necesitas alguna aclaración pídemela.