Combinación de metodos2
1. En cierta reacción química podemos medir la concentración de uno de los reactivos y la cantidad de ese reactivo decrece con el tiempo según la función:
f(t) = 10e elevada a la -3t + 2e elevada a la -5t
¿En qué tiempo obtenemos la mitad de la concentración de dicha sustancia de la que teníamos al inicio de la reacción?
¿Cuántos raíces tiene esa función?
1 respuesta
La concentración inicial de ese reactivo es
f(0) = 10e^(-3·0) +2e^(-5·0) = 10e^0 + 2e^0 = 12
Luego la mitad de concentración será 6, habrá un tiempo t donde se dé esa concentración
10e^(-3t)+ 2e^(-5t) = 6
Y esa es la ecuación que hay que solucionar
Por el método de Newton tomaremos la función
g(t) = 10e^(-3t)+ 2e^(-5t) - 6
y aplicándolo hallaremos el punto donde esta función vale 0
$$\begin{align}&t_{n+1}=t_n-\frac{g(t_n)}{g'(t_n)}\\ &\\ &\\ &\\ &t_{n+1}=t_n-\frac{10e^{-3t}+2e^{-5t}-6}{-30e^{-3t}-10e^{-5t}}\\ &\\ &\text {simplificando un poco}\\ &\\ &t_{n+1}=t_n+\frac{5e^{-3t}+e^{-5t}-3}{15e^{-3t}+5e^{-5t}}\end{align}$$Para dar un valor inicial veamos cuanto vale la función en 0.25
g(0.25) = 10e^(-0.75) + 2e^(-1.25) - 6 = -0.7033
No está mal, empezaremos con to=0.25
$$\begin{align}&t_{1}=0.25+\frac{5e^{-3\,·\,0.25}+e^{-5\,·\,0.25}-3}{15e^{-3\,·\,0.25}+5e^{-5\,·\,0.25}}=0.2087154825\\ &\\ &t_2=0.2113158264\\ &\\ &t_3=0.2113272511\\ &\\ &t_4 = 0.2113272513\\ &\\ &t_5 = 0.2113272513\\ &\\ &\end{align}$$Y ya está, convergió rápidamente.
Tiene una solución ya que la derivada de la función es
g'(t) = -30e^(-3t) -10e^(-5t)
Como las exponenciales son siempre positivas, entonces g' es siempre negativa y por lo tanto g es siempre decreciente y solo atraviesa una vez el eje X.
Y eso es todo.
