Ecuación diferencial no separable

Es una ecuación diferencial lineal, tiene la forma que te dice la teoría sobre ellas. No voy a explicarte aquí la teoría porque de porque se resuelven como lo haré, la tendrás mucho mejor explicada en tu libro que lo que pueda escribir sin un editor adecuado.

Los pasos para resolverla son estos:

1) Dividimos todos los términos por la función que multiplica a y'=dy/dx para que que y' queda con coeficiente 1

y' + [(x+2)/(x+1)]y = 2xe^(-x)/(x+1)

En los apartados siguientes supondremos que la ecuación es:

y' + P(x)·y = f(x)

Por lo que:

P(x) = [(x+2)/(x+1)]

f(x) = 2xe^(-x)/(x+1)

2) Calculamos el factor integrante u(x) de esta forma:

u(x) = e^[$P(x)dx]

$[(x+2)/(x+1)] dx =

Hacemos la división entera de x+2 entre x+1 y queda 1 de cociente y 1 de resto

(x+2)/(x+1) = 1 + 1/(x+1)

Luego la integral queda

= $dx + $dx/(x+1) = x + ln(x+1)

y el factor integrante será

u(x) = e^[x+ln(x+1)]

3) Ahora no queda más remedio que reflexionar qué pasaría al multiplicar todo por ese factor integrante

e^[$P(x)dx]·y' + e^[$P(x)dx]·P(x)·y = e^[$P(x)dx]·f(x)

Pues que el primer miembro no sería otra cosa que la derivada de un producto, de este:

e^[$P(x)dx] · y

Ya que primero por derivada del segundo = e^[$P(x)dx] · y'

y derivada del primero por el segundo = e^[$P(x)dx] · [$P(x)dx]' · y = e^[$P(x)dx] · P(x) · y

que sumados nos dan exactamente ese miembro de la izquierda

Como e^[$P(x)dx] = u(x) podemos escribir

[u(x)·y]' = u(x)·f(x)

integrando quedará

u(x)·y = $u(x)f(x)dx

y finalmente

y = [$u(x)f(x)dx] / u(x)

Así que vamos a hacer esa integral

$u(x)f(x)dx = $e^[x+ln(x+1)]·2xe^(-x)/(x+1)dx =

2$e^[x+ln(x+1)-x]dx / (x+1) =

2$e^[ln(x+1)] dx / (x+1) =

2$(x+1)dx/(x+1) =

2$dx = 2x +C

y = (2x+C) / u(x)

y = (2x+C) / e^[x+ln(x+1)]

Por cierto, eso se puede simpliticar o dejar mejor:

y = (2x+C) / [(e^x)e^(ln(x+1))]

y = (2x+C) / [(x+1)e^x]

Y eso es todo.