Con el método de sustitucio

Mi método favorito para la derivada de la tangente es

(tgx)' = 1+ tg^2(x)

Es el que me enseñaron y he usado siempre para derivar.

Pero hay que reconocer que conocer este método alternativo

(tgx)' = sec^2(x)

Puede ser muy útil en ocasiones, esta es una de ellas.

Tenemos que sec^2(y) es le derivada de tgy luego el cambio t=tgy es el adecuado

$$\begin{align}&\int sec^2y·tg^2y \;dy =\\ &\\ &t= tgy \quad dt=sec^2y\;dy\\ &\\ &\\ &=\int t^2 dt= \frac{t^3}{3}+t+C = \frac{tg^3y}{3}+C\end{align}$$

Y eso es todo.