Pregunta de distancia entre rectas

La distancia entre dos rectas en el espacio se calcula con la fórmula

$$d(r_1,r_2) =\frac{|[\vec{P_1P_2},\,\vec u_1,\,\vec u_2]|}{|\vec u_1 \times \vec u_2|}$$

Donde P1 es un punto de r1, P2 de r^2, u1 es el vector de r1 y u2 el de r^2.

Vamos a calcular todos esos datos

P1= (0,1,1)

u1 = (1,1,0) - (0,1,-1) = (1, 0, 1)

Para calcular P2 hagamos z=0

2x + y -1 = 0
x - y +1 = 0

Sumándolas

3x = 0

x= 0

0 -y +1 = 0

y= 1

Luego P2(0,1,0)

Y el vector u2 de la recta es el producto vectorial de los vectores directores de los planos

|i  j  k|
|2  1 -1| = -2i +j -3j
|1 -1 -1|

u2= (-2, 1, -3)

Y el vector P1 P2 es (0,1,0) - (0,1,1) = (0, 0, -1)

Y están los datos. Hagamos primero el producto vectorial porque sirva para hacer el mixto

          | i  j  k|
u1 x u2 = | 1  0  1| = -i + j +k 
          |-2  1 -3|

en forma de coordenadas es (-1, 1, 1)

Y el producto mixto es el escalar de P1P2 por este

(0,0,-1)(-1, 1, 1) = -1

Y finalmente la distancia es el módulo del mixto entre el módulo del vectorial

d(r1,r2) = |-1| / sqrt(1^2+1^2+1^2) = 1/sqrt(3) = sqrt(3) / 3

Y eso es todo.