Hola , se que es un maestraso ojala me pueda resolver este ejercicio.

Le he estado dando cien vueltas pero creo que no va a quedar otro remedio que usar el cambio de variable universal

tg(x/2) = t

Que aparte de la dificultad, deja después los resultados ilegibles en función de los ángulos mitad, pero no le veo otro remedio.

Estos son los datos teóricos que se deben conocer sobre este cambio.

$$\begin{align}&tg \frac x2 = t\\ &\\ &sen\,x= \frac{2t}{1+t^2}\\ &\\ &\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &\\ &dx =\frac {2t}{1+t^2}\end{align}$$

Para no liarnos haremos primero un cambio que nos deje el ángulo en y en vez de 7x

$$\begin{align}&\int \frac{dx}{1-sen\,7x}=\\ &\\ &y=7x\quad\quad dy=7dx\quad\quad dx=\frac {dy}7\\ &\\ &\frac{1}{7}\int \frac{dy}{1-sen\,y}=\\ &\\ &tg \frac y2=t \quad\quad \\ &sen\,y=\frac{2t}{1+t^2}\\ &dy = \frac{2dt}{1+t^2}\\ &\\ &\\ &=\frac 17\int \frac {1}{1-\frac{2t}{1+t^2}}·\frac {2}{1+t^2}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 27 \int \frac{dt}{1+t^2-2t}=\\ &\\ &\\ &\frac 27\int \frac{dt}{(t-1)^2}=-\frac 2{7(t-1)}+C =\\ &\\ &\\ &-\frac{2}{7\left(tg \frac y2-1\right)}+C=\\ &\\ &\\ &-\frac{2}{7\left(tg \frac{7x}{2}-1  \right)}+C\end{align}$$

Para que te des cuenta del descontrol que hay sobre el método de integración te adjunto otras 4 soluciones de ella

$$\begin{align}&Maxima=-\frac{2}{7\left(\frac{sen\,7x}{\cos 7x+1}-1  \right)}+C\\ &\\ &Derive=\frac{tg\left(\frac{14x+\pi}{4}  \right)}{7}+C\\ &\\ &WolframAlpha=\frac{2 sen \frac{7x}{2}}{7\left(\cos \frac{7x}{2}-sen \frac{7x}{2}  \right)}+C\\ &\\ &WolframAlpha=\frac{2}{7\left(ctg \frac{7x}{2}-1  \right)}+C\\ &\\ &\\ &Otro=-\frac{2}{7}\left(\frac{\cos 7x +1}{sen\,7x-\cos 7x -1}\right)\end{align}$$

Sorprendente la respuesta de Derive que en vez de el ángulo mitad usa el ángulo doble.

Normal la de WolframAlpha solo que ha usado el cambio ctg(x/2)=t

Y los otros no se cómo lo habrán hecho, ya me gustaría saberlo.

Y eso es todo.