Integral para hallar un volumen.
Buenos días, tengo una pequeña duda sobre el planteamiento de la integral, agradecería su amable colaboración, el problema dice asi:
Para un gas ideal, la presión es inversamente
proporcional al volumen, el trabajo requerido para aumentar el volumen de un
gas particular de V=2 a V=4 está dado por la siguiente expresión donde la constante de
proporcionalidad para este caso es de 12. Cuál será el valor de la integral?
Que tenga un buen dia.
Edna Zolang Restrepo
1 respuesta
asi dice el enunciado del problema, mi duda esta en como debo plantear la integral.
Edna Z. Restrepo
Pero vuelvo a decirte que no sale esa exprésión, integral o lo que sea de la que habla el enunciado. Hace falta esa exprésión porque aunque busque en la Wikipedia la fórmula me aparecen varias. Escríbela a mano si no te sale de otra forma.
No me dan integral... tengo que plantear la integral con la información que me dan en el enunciado y solucionarla...
Edna Z. Restrepo
Pues no viendo la fórmula va a ser difícil.
En un gas ideal se cumple
pV = nRT
Donde p es la presión, V el volumen, n el número de moles, R una constante qe para los gases es 0.082 y T la temperatura.
El trabajo al recorrer el embolo un trayecto infinitesimal dx es
dW = -Fdx
La fuerza es la presión por la superficie sobre la que se ejerce, llamemos A a esa superficie (área)
dW = - pAdx
el área por el desplazamiento es el incremento de volumen
dW = -pdV
sustituyendo la igualdad inicial tenemos
dW = - (nRT/V)dV
con lo cual el trabajo total es
$$W = -\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}dV$$Hablas de una constante que es 12
Veamos que 1/12 = 0.0833 que es bastante parecido a la constante R=0.082
Entonces supongo que tu fórmula es algo de este tipo
$$W = -\int_{V_A}^{V_B}\frac{nT}{kV}dV$$donde k=12
Y ahora resolvemos esa integral.
N y k son constantes, T también si no aumenta la temperatura. Luego pueden salir fuera de la integral.
$$\begin{align}&W = -\frac{nT}{k}\int_{V_A}^{V_B}\frac{dV}{V}=\\ &\\ &-\frac{nT}{k}lnV|_{V_A}^{V_B}=-\frac{nT}{k}(lnV_B-lnV_A)=\\ &\\ &-\frac{nT}{k}ln\left(\frac{V_B}{V_A} \right)\end{align}$$Mira a ver si es eso más o menos lo que tenías o si no tenías nada pues ya tienes algo.
¡Ah espera! que nos dan volúmenes
$$\begin{align}&W=-\frac{nT}{k}ln\left(\frac{4}{2} \right)=-\frac{nT}{k}ln\,2\\ &\\ &\text{o dando el valor de k que nos dan sería}\\ &\\ &W=-\frac{nT·ln\,2}{12}\\ &\\ &\text{Y ya en el colmo}\\ &\\ &W=- 0.057776·nT\end{align}$$Y eso es todo.
