Demostración de una raíz cuadrada de un numero impar

Amo 1965!

No tiene especial importancia que el número sea par o impar. To número natural con raíz no exacta es irracional.

Supongamos que la raíz de 3 es un número racional. Entonces será un número p/q, además podemos elegir p y q de forma que sean primos entre sí, no tienen ningún factor común.

sqrt(3) = p / q

elevamos al cuadrado

3 = p^2 / q^2

3q^2 = p^2

Luego p^2 debe ser múltiplo de 3. Como la descomposición en factores primos de un cuadrado tiene todos los factores primos elevados a un exponente par entonces p^2 es múltiplo de 3^2 y entonces p es múltiplo de 3

p=3r

Y sustituyendo en la igualdad

3q^2 = 9r^2

q^2 = 3r^2

Y por el mismo argumento usado antes ahora tendremos que q es múltiplo de 3

Luego hemos llegado a que p y q son múltiplos de 3. Pero eso es absurdo ya que la hipótesis era que p y q eran primos entre si. Luego la raíz de 3 no es un número racional.

Y eso es todo.