Las derivadas de las funciones son

Esta integral no es para hacerla por partes, es para hacerla por cambio de variable.

$$\begin{align}&\int x^2e^{x^3}dx=\\ &\\ &t=x^3\\ &dt=3x^2dx \implies x^2dx =\frac {dt}3\\ &\\ &=\int e^t · \frac{dt}{3}=\\ &\\ &\frac{e^t}{3}+C=\frac{e^{x^3}}{3}+C\end{align}$$

Y eso es todo.