Aplicación Lineal y Matriz Asociada :( no lo entiendo..
Experto por favor ayudame..
Sea la aplicación lineal F: R3 --> R2, tal que F((1,1,1)) = (3, 2); F((a, 3,1)) = (4,5);
F((2,2,1)) = (b,4) y F((1,2,1) = (3,3), Determine los valores de a y b para que F sea una aplicación lineal y halle su matriz asociada.
Para determinar una aplicación lineal es suficiente con conocer las imágenes de una base
Tenemos estas correspondencias
(1,1,1) --> (3,2)
(2,2,1) --> (b,4)
(1,2,1) --> (3,3)
(a,3,1) -->(4,5)
Vamos a ver que los tres primeros vectores son una base de R3, para ello los colocamos como un determinante y lo calculamos y da
2+2+2-4-1-2 = -1
luego son linealmente independientes y por ser tres son una base de R3
Ahora vamos a calcular el cuarto vector como combinación lineal de los tres primeros
x(1,1,1) + y(2,2,1) + z(1,2,1) = (a,3,1)
x+2y+z = a
x+2y+2z = 3
x+y+z=1
A la segunda le restamos la primera
z =3-a
Y a la primera le restamos la tercera
y=a-1
Y en la tercera calculamos x
x+a-1+3-a=1
x+2=1
x=-1
Luego las coordenadas de (a,3,1) en la base de los 3 primeros vectores son
(-1, a-1, 3-a)
Entonces la imagen de (a,3,1) por la aplicación lineal es
-1·f(1,1,1) + (a-1)f(2,2,1) + (3-a)f(1,2,1) =
-1(3,2) + (a-1)(b,4) + (3-a)(3,3) =
(-3, -2) + (ab-b, 4a-4) + (9-3a, 9-3a) =
(-3+ab-b+9-3a, -2+4a-4+9-3a) =
(6+ab-b-3a, 3+a)
Y eso debe ser igual que la imagen que nos dan
(6+ab-b-3a, 3+a) = (4,5)
esto supone dos ecuaciones
6+ab-b-3a=4
3+a = 5
De la segunda ya obtenemos a=2
y sustituyendo en la primera
6+2b-b-6 = 4
b= 4
Luego los valores que nos piden son a=2 y b=4
La matriz de una aplicación lineal es la que tiene por columnas la imagen de una base del espacio origen en función de una base del espacio imagen. En el espacio origen usamos como base la de los tres vectores primeros y en el espacio imagen la típica {(1,0), (0,1)
(1,1,1) --> (3,2)
(2,2,1) --> (b,4) = (4,4)
(1,2,1) --> (3,3)
Entonces la matriz asociada (a estas bases) es
$$\begin {pmatrix}
3&4&3\\
2&4&3
\end {pmatrix}$$
