Función matemática y ecuaciones
Considere una función continua f con dominio [0,1] y rango [0,1]. Un punto fijo de f es un numero por en [0,1] que satisface la ecuación.
x=f(x)
Jusstifique que existe al menos un punto fijo de f
x=f(x)
Jusstifique que existe al menos un punto fijo de f
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Esteban 162!
Consideremos la función g(x) = f(x)-x
G es continua por ser suma de dos funciones continuas
g(0) = f(0) - 0 = f(0) >= 0 por ser [0,1] el rango de f
g(1) = f(1) - 1 <= 0
Si g(0)=0 ó g(1)=0 ya está, 0 ó 1 serían el punto fijo (o uno de ellos al menos) porque se deduciría f(0)=0 ó f(1)=1
Si ambos son distintos de cero tendremos una función continua que pasa de positiva a negativa. Por el teorema de Bolzano habrá algún punto c donde valdrá cero
g(c) = 0 ==> f(c) - c = 0 ==> f(c) = c
Y ese punto c sería un punto fijo.
Y eso es todo. Ya ves que no era muy difícil.
Consideremos la función g(x) = f(x)-x
G es continua por ser suma de dos funciones continuas
g(0) = f(0) - 0 = f(0) >= 0 por ser [0,1] el rango de f
g(1) = f(1) - 1 <= 0
Si g(0)=0 ó g(1)=0 ya está, 0 ó 1 serían el punto fijo (o uno de ellos al menos) porque se deduciría f(0)=0 ó f(1)=1
Si ambos son distintos de cero tendremos una función continua que pasa de positiva a negativa. Por el teorema de Bolzano habrá algún punto c donde valdrá cero
g(c) = 0 ==> f(c) - c = 0 ==> f(c) = c
Y ese punto c sería un punto fijo.
Y eso es todo. Ya ves que no era muy difícil.
