Geometría analítica y una pregunta acerca de usted.

El centro de la circunferencia está en un punto equidistante de P y Q

x^2 + y^2 = (x-2)^2 + (y+4)^2

x^2 + y^2 = x^2 - 4x +4 + y^2 +8y +16

simplificando

-4x + 8y + 20 = 0

y = (4x-20)/8 = (x-5)/2

Ahora hay que tomar un punto de esa recta equidistante del punto (0,0) y de la recta y+4=0

La distancia al cuadrado a (0,0) de un punto de la recta (x, (x-5)/2) será

x^2 + [(x-5)/2]^2 =

x^2 + (x^2-10x+25)/4 =

(5/4)x^2 - 5x/2 + 25/4

Y la distancia al cuadrado a la recta y+4=0 es

|(x-5)/2 +4|^2 =

(x/2 - 3/2)^2 =

(x^2)/4 - 3x/2 + 9/4

Igualamos ambas

(5/4)x^2 - 5x/2 + 25/4=(x^2)/4 - 3x/2 + 9/4

x^2 - x + 4 = 0

(x-2)^2 = 0

x-2=0

x=2

Luego

y=(x-5)/2 = (2-5)/2 = -3/2

El centro es

(2, -3/2)

el radio es la distancia a (2,-4)

r = sqrt[(2-2)^2 +(-4-(-3/2))^2] = 5/2

Y la ecuación canónica será

(x-2)^2 + (y+3/2)^2 = (5/2)^2

que podemos dejar en forma general

x^2 - 4x + 4 + y^2 + 3y + 9/4 = 25/4

x^2 + y^2 - 4x + 3y = 0

Y eso es todo.