Como calcular el área de una curva en base a la siguiente función utilizando integrales:

<h4>f(x) = 9-x^2 con x= 1 y x = 5, exprese por medio de la tabla de valores las imágenes positivas y negativas.</h4>

Gracias.

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Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X para ver donde es positiva y negativa.

9-x^2 = 0

x^2 = 9

x = -3 y 3

Para averiguar el signo avaluaremos la función en el interior de los tres intervalos que se crean

Intervalo Punto Valor 
(-oo, -3)  -4   9-16 = -7  Negativo
(-3, 3)     0   9-0 = 9    Positivo
(3, +oo)    4   9-16 = -7  Negativo

Luego la integral tendrá entre x=1 y x=5 tendrá valor positivo en (1, 3) y negativo en (3,5)

Tendremos que hacer la integral en esos dos intervalos y darle valor positivo en ambos

La integral es directa,

9x - (x^3)/3

Vamos a evaluarla primero en el intervalo (1,3)

9·3 - 27/3 - 9·1 + 1/3 = 27 - 9 -9 + 1/3 = 9 + 1/3 = 28/3

Y ahora en el intervalo (3,5)

9·5 - 125/3 - 9·3 + 27/3 = 45 - 125/3 - 27 + 9 = 27 - 125/3 =

(81-125)/3 = -44/3

Tomamos el valor absoluto

44/3

Y ahora el área de la curva es la suma de las dos

28/3 + 44/3 = 72/3 = 24

Gracias. Me cuesta un poco comprobar un poco donde hay valores negativos y donde positivos, ya que indicas que la integral tendrá entre x=1 y x=5 tendrá valor positivo en (1, 3) y negativo en (3,5), por eso solicitaba comprobar por medio de una tabla de valores que creo que asi se llaman.

Lo principal es saber que una función continua si cambia de signo atraviesa el cero. Entonces el estudio se hace calculando los cortes con el eje X y viendo el signo a un lado y otro.

La función 9-x^2 ya hemos visto que corta al eje X en los puntos

x=-3, x=3

El punto x=-3 está a la izquierda del intervalo [1,5] que nos dan, luego no lo estudiaremos

El punto x=3 si nos interesa porque está dentro del intervalo y lo divide en estos dos intervalos

[1,3] y [3,5]

En cada uno de estos dos intervalos no hay cortes con el eje, luego le signo se mantiene constante. Y para averiguarlo basta con evaluar la función en un punto interno.

Asi en el intervalo [1, 3] tomamos el punto x=2 y evaluamos la función

f(2) = 9 - 2^2 = 9-4 = 5

Luego en [1, 3] la función es positiva

Y en el intervalo [3, 5] tomemos el 4

f(4) = 9 - 4^2 = 9-16 = -7

Eso es lo realmente interesante para el cálculo de la integral.

Pero si solo quieres la tabla de valores consiste en dar valores a x y calcular f(x)

f(1) = 9 - 1^2 = 8

f(2) = 9 - 2^2 = 5

f(3) = 9 - 3^2 = 0

f(4) = 9 - 4^2 = -7

f(5) = 9 -5^2 = -16

Y la tabla sería

X |  Y
--|---
1 |  8
2 |  5
3 |  0
4 | -7
5 |-16

Y eso es todo. Ojalá ahora ya sea lo que necesitas.

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