Halle el valor de convergencia de la siguiente serie
f(x)= serie de 1 a infinito de [ n*x^2n ]
*= por
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No debe engañarnos esa expresión de la serie, en realidad faltan los términos impares que tienen coeficiente 0. La expresión de la serie en función de x^n es
(n/2)x^n si n es par
0 si n es impar
No podemos usar el criterio del cociente porque habría divisiones entre 0 en el límite que se calcula
Y podemos usar el criterio de la raíz, pero hay que tener en cuenta que para los impares el límite es 0, luego si queremos que haya límite debe ser 0 en los pares
$$L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n] n}{ {\sqrt[n] 2}}= \frac 11=1$$Luego tampoco nos sirve este criterio.
Usaremos el criterio de la integral
$$\begin{align}&\int_1^{\infty}\frac y2x^{y}dy\\ &\\ &\text{de momento trabajemos con la indefinida sacado el 1/2}\\ &\\ &\int yx^y dy=\\ &\\ &u = y\quad du = dy\\ &\\ &dv=x^ydy\quad v= \frac{x^y}{lnx}\\ &\\ &=\frac{yx^y}{lnx}-\int \frac{x^y}{lnx}dy=\\ &\\ &\frac{yx^y}{lnx}-\frac{1}{lnx}\int x^ydy=\\ &\\ &\frac{yx^y}{lnx}-\frac{x^y}{(lnx)^2}=\\ &\\ &\frac{x^y(y·lnx-1)}{(lnx)^2}\\ &\\ &\text{Y lo que hay que evaluar es}\\ &\\ &\frac 1{2(lnx)^2}\left[ x^y(y·lnx-1) \right]_1^{\infty}\\ &\end{align}$$Lo voy a dejar de momento, ahora tengo la duda si podría haberse puesto ln|x| en vez de lnx y así serviría para x negativos. Es que si no vamos a tener que hacer cuentas propias para los valeres negativos de x
Para los positivos es sencillo
Si 0<x<1 el factor x^y tiende a cero más rápido que y·lnx tiende a infinito y el límite es cero y la serie converge
Si 1<x el factor x^y tiende a infinito y la serie diverge
Si x=1 la serie sería n y el sumatorio de n es infinito y diverge.
Si -1<x<0 sería una serie alternada de la serie para 0<x<1 como está era absolutamente convergente lo será la alternada
Si x=-1 es la serie -1,2,-3,4,-5 que diverge porque el límite es oscilante.
Y me queda el caso x<-1 que ahora no sé como será aunque intuyo que divergente por límite oscilante.
Tengo que dejarlo.
De todos formas no sé si conoceréis otro criterio aparte de los que he usado y que sea más sencillo.
Inténtelo utilizando la serie geométrica...
Yo no pude deshacerme del n que multiplica x^2n
¿Pero cuál es la pregunta?
Hallar el radio de convergencia o calcular la función.
El radio de convergencia es 1. La serie converge para x€(-1,1)
La parte que no había hecho x <-1 es divergente por tener el límite oscilante cuando n tiende a infinito unas veces se suma una cantidad muy grande y a la siguiente se resta oscilando de esta forma entre +infinito y -infinito.
Hallar la función sería:
f(x) = x^2 + 2x^4 + 3x^6 + 4x^8 + 5x^10 + ...
(1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...)^2 =
1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... +
x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ... +
x^4 + x^6 + x^8 + ... +
x^6 + x^8 + ... +
x^8 + ... +
... =
1 + 2x^2 + 3x^4 + 4x^6 + 5x^8 + ....
Luego
f(x) = (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + ...)^2 - (1 + x^2 + x^4 + x^6 +...)=$$\begin{align}&\left( \frac{1}{1-x^2} \right)^2 -\frac{1}{1-x^2}=\\ &\\ &\frac{1}{(1-x^2)^2} -\frac{1}{1-x^2}=\\ &\\ &\frac{1-(1-x^2)}{1-x^2}= \frac{x^2}{(1-x^2)^2}\\ &\\ &f(x) =\left(\frac{x}{1-x^2} \right)^2\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
