Dimensión de cuerpos de extensión
Sean a y ß números algebraicos sobre Q, con [Q(a):Q]=n y [Q(ß):Q]=m entonces [Q(a,ß):Q(a)]=n si y solo si [Q(a,ß):Q(ß)]=m, y que estas condiciones se cumplen si m y n son primos entre si.
Espero respuesta, gracias de antemano ;)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Usaré las letras a y b que la beta es difícil escribirla. Asimismo, cuando yo estudiada elgrado de una extensión se ponía entre barras de valor absoluto, los corchetes eran para encerrar las variables de los polinomios sobre el cuerpo
Tenemos estas extensiones algebraicas:
$$\begin{align}&1)\quad \mathbb Q \subseteq \mathbb Q(a)\subseteq (\mathbb Q(a))(b) = \mathbb Q(a,b)\\ &2) \quad\mathbb Q \subseteq \mathbb Q(b) \subseteq (\mathbb Q(b))(a) = \mathbb Q(a,b)\\ &\\ &\text {Supongamos que } |\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(a)|=n\\ &\\ &\text {Por el teorema de transitividad de grados en 1}\\ &\\ &|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q|=|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(a)|·|\mathbb Q(a):\mathbb Q|\\ &\\ &|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q|=n·n=n^2\\ &\\ &\text{Y aplicándolo a la línea 2}\\ &\\ &|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q|=|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(b)|·|\mathbb Q(b):\mathbb Q|\\ &\\ &|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q|=|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(b)|·m\\ &\\ &\text{Igualando los resultados}\\ &\\ &n^2=|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(b)|·m\\ &\\ &|\mathbb Q(a,b):\mathbb Q(b)|=\frac{n^2}{m}\end{align}$$No se deduce lo que piden, sin duda hay un fallo en el enunciado, debería haber sido
entonces [Q(a,ß):Q(a)]=m si y solo si [Q(a,ß):Q(ß)]=n
Revisa el enunciado para ver si dice eso. Y si dice lo que pone al principio, es falsa la conclusión.
