Las derivadas e integrales
Si r es el radio y l es el lado de un polígono regular, demuestra lo siguiente:
a. El hexágono, l = r.
b. El octágono, l = r(sqrt(2-sqrt 2)).
c. El dodecagono, l = r(sqrt(2- sqrt 3)).
Saludos
1 Respuesta
Todos los triángulos que se forman el el polígono regular son isósceles.
a) El angulo central es es 60º luego los otros dos que son iguales son
(180-60)/2 = 120/2 = 60º
Y tenemos un triángulo equilátero, luego el lado es igual que los radios.
b) El ángulo central es 360º / 8 = 45º
Colocamos 22,5º por arriba del eje X y 22.5º por debajo
La mitad del lado será r·sen(22.5º) luego
L = 2·r·sen(22.5º)
La fórmula del seno del ángulo mitad es
$$\begin{align}&sen(A/2) = \sqrt{\frac{1-cosA}{2}}\\ &\\ &sen(45º/2) = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 2}{2}}{2}}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{2-\sqrt 2}{4}}=\frac{\sqrt{2- \sqrt 2}}{2}\\ &\\ &\\ &L= 2r \frac{\sqrt{2- \sqrt 2}}{2}= r \sqrt{2- \sqrt 2}\\ &\end{align}$$c) El dodecágono tiene 12 lados luego el ángulo central es 360º/12 = 30º
Si ponemos 15º por arriba y 15º por debajo tendremos
L = 2 r · sen(15º)
aplicando la fórmula del seno del ángulo mitad tenemos
$$\begin{align}&L=2r sen(30º/2)=2r \sqrt{\frac{1-cos30º}{2}}=\\ &\\ &2r \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}= 2r \sqrt{\frac{2-\sqrt 3}{4}}= r \sqrt{2-\sqrt 3}\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
